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# 22. Equações Diferenciais

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## 22.1 Introdução às Equações Diferenciais

Esta secção descreve as funções disponíveis no Maxima para obter a solução analítica de alguns tipos específicos de equações diferencias de primeira e segunda ordem. Para obter a solução numérica dum sistema de equações diferenciais, consulte o pacote adicional `dynamics`. Para obter representações gráficas no espaço de fase, consulte o pacote adicional `plotdf`.

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## 22.2 Definições para Equações Diferenciais

Função: bc2 (solução, xval1, yval1, xval2, yval2)

  Resolve um problema de valores fronteira para uma equação diferencial de segunda ordem. Aqui: solução é uma solução geral para a equação, calculada por `ode2`; xval1 define o valor da variável independente, num primeiro ponto, na forma `x = x1`, e yval1 define o valor da variável dependente, no mesmo ponto, na forma `y = y1`. As expressões xval2 e yval2 definem os valores das mesmas variáveis, num segundo ponto, usando a mesma forma.

  Veja um exemplo da sua utilização na documentação de `ode2`.

Função: desolve (eqn, x)
Função: desolve ([eqn_1, ..., eqn_n], [x_1, ..., x_n])

  A função `dsolve` resolve sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares usando transformada de Laplace. Aqui as expressões eqn são equações diferenciais nas variáveis dependentes x_1, ..., x_n. A relação funcional de x_1, ..., x_n na variável independente deve ser indicada explicitamente nas variáveis e nas suas derivadas. Por exemplo, esta forma de definir as equações não seria correcta:

      eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x);
      eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);

  A forma correcta seria:

      eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x);
      eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);

  Assim, a chamada à função `desolve` seria:

      desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);

  Se as condições iniciais em `x=0` forem conhecidas, poderão ser fornecidas antes de usar `desolve`, através de `atvalue`.

      (%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
                       d           d
      (%o1)            -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
                       dx          dx
      (%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
                        2
                       d            d
      (%o2)            --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
                         2          dx
                       dx
      (%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
      (%o3)                           a
      (%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
      (%o4)                           1
      (%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
                        x
      (%o5) [f(x) = a %e  - a + 1, g(x) =

                                                      x
                                         cos(x) + a %e  - a + g(0) - 1]
      (%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
                   x       x      x                x
      (%o6)   [a %e  = a %e , a %e  - cos(x) = a %e  - cos(x)]

  Se `desolve` não pode obter uma solução, retorna `false`.

Função: ic1 (solução, xval, yval)

  Resolve problemas de valor inicial para equações diferenciais de primeira ordem. Aqui solução é uma solução geral para a equação, na forma dada por `ode2`, xval dá um valor inicial para a variável independente, na forma `x = x0`, e yval dá o valor inicial para a variável dependente, na forma `y = y0`.

  Veja um exemplo da sua utilização na documentação de `ode2`.

Função: ic2 (solução, xval, yval, dval)

  Resolve problemas de valores iniciais para equações diferenciais de segunda ordem. Aqui solução é uma solução geral para a equação, na forma dada por `ode2`, xval dá um valor inicial para a variável independente, na forma `x = x0`, yval dá o valor inicial para a variável dependente, na forma `y = y0` e dval dá o valor inicial para a primeira derivada da variável dependente, em função da variável independente, na forma `diff(y,x) = dy0` (`diff` não tem que ser precedido por apóstrofo).

  Veja um exemplo da sua utilização na documentação de `ode2`.

Função: ode2 (eqn, dvar, ivar)

  A função `ode2` resolve uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ou de segunda ordem. Precisa de três argumentos: uma EDO dada por eqn, a variável dependente dvar, e a variável independente ivar. Quando conseguir, retorna uma solução para a variável dependente, na forma explícita ou implícita. `%c` é usado para representar a constante de integração no caso de equações de primeira ordem, e `%k1` e `%k2` as constantes para equações de segunda ordem. A dependência da variável dependente na variável independente não tem que ser escrita em forma explícita, como no caso de `desolve`, mas a variável independente deverá ser indicada sempre no terceiro argumento.

  Se por alguma razão `ode2` não conseguir encontrar a solução, retornará `false`, após talvez mostrar uma mensagem de erro. Os métodos implementados para equações diferenciais de primeira ordem, na ordem em que serão testados, são: linear, separável, exacta - talvez requerendo um factor de integração, homogénea, equação de Bernoulli, homogénea generalizada. Os tipos de equações de segunda ordem que podem ser resolvidas são: coeficientes constantes, exactas, linear homogéneas com coeficientes não-constantes que possam ser transformados para constates, equação de Euler ou equi-dimensional, equações que possam ser resolvidas pelo método de variação dos parâmetros, e equações que não dependam ou da variável independente ou da variável dependente de modo que possam ser reduzidas a duas equações lineares de primeira ordem a serem resolvidas sequêncialmente.

  Durante o processo de resolução da EDO, serão dados valores a várias variáveis locais, com fins puramente informativos: `método` denota o método de solução usado (por exemplo, `linear`), `intfactor` denota qualquer factor integrante utilizado, `odeindex` denota o índice para o método de Bernoulli ou para o método homogéneo generalizado, e `yp` denota a solução particular no método de variação dos parâmetros.

  Para resolver problemas de valores iniciais (PVI) estão disponíveis as funções `ic1` e `ic2`e, para equações de primeira e segunda ordem, e para resolver problemas de valores fronteira (PVF) de segunda ordem pode usar-se a função `bc2`.

  Exemplo:

      (%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
                            2 dy           sin(x)
      (%o1)                x  -- + 3 x y = ------
                              dx             x
      (%i2) ode2(%,y,x);
                                   %c - cos(x)
      (%o2)                    y = -----------
                                        3
                                       x
      (%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
                                    cos(x) + 1
      (%o3)                   y = - ----------
                                         3
                                        x
      (%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
                               2
                              d y      dy 3
      (%o4)                   --- + y (--)  = 0
                                2      dx
                              dx
      (%i5) ode2(%,y,x);
                            3
                           y  + 6 %k1 y
      (%o5)                ------------ = x + %k2
                                6
      (%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
                                   3
                                2 y  - 3 y
      (%o6)                   - ---------- = x
                                    6
      (%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
                               3
                              y  - 10 y       3
      (%o7)                   --------- = x - -
                                  6           2

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