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# 23. Numérico

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## 23.1 Introdução a Numérico

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## 23.2 Pacotes de Fourier

O pacote `fft` compreende funções para computação numérica (não simbólica) das transformações rápidas de Fourier. `load ("fft")` chama esse pacote. Veja `fft`.

O pacote `fourie` compreende funções para computação simbólica de séries de Fourier. `load ("fourie")` chama esse pacote. Existem funções no pacote `fourie` para calcular coeficientes da integral de Fourier e algumas funções para manipulação de expressões. Veja `Definições para Séries`.

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## 23.3 Definições para Numérico

Função: polartorect (magnitude_array, phase_array)

  Traduz valores complexos da forma `r %e^(%i t)` para a forma `a + b %i`. `load ("fft")` chama essa função dentro do Maxima. Veja também `fft`.

  O módulo e a fase, `r` e `t`, São tomados de magnitude_array e phase_array, respectivamente. Os valores originais de arrays de entrada são substituídos pelas partes real e emaginária, `a` e `b`, no retorno. As saídas são calculadas como

      a: r cos (t)
      b: r sin (t)

  Os arrays de entrada devem ter o mesmo tamanho e ser unidimensionais. O tamanho do array não deve ser uma potência de 2.

  `polartorect` é a função inversa de `recttopolar`.

Função: recttopolar (real_array, imaginary_array)

  Traduz valores complexos da forma `a + b %i` para a forma `r %e^(%i t)`. `load ("fft")` chama essa função dentro do Maxima. Veja também `fft`.

  As partes real e imaginária, `a` e `b`, são tomadas de real_array e imaginary_array, respectivamente. Os valores originais dos arrays de entrada são substituídos pelo módulo e pelo ângulo, `r` e `t`, no retorno. As saídas são calculadas como

      r: sqrt (a^2 + b^2)
      t: atan2 (b, a)

  O ângulo calculado encontra-se no intervalo de `-%pi` a `%pi`.

  Os arrays de entrada devem ter o mesmo tamanho e ser unidimensionais. O tamanho do array não deve ser uma potência de 2.

  `recttopolar` é a função inversa de `polartorect`.

Função: ift (real_array, imaginary_array)

  Transformação rápida inversa discreta de Fourier . `load ("fft")` chama essa função dentro do Maxima.

  `ift` realiza a transformação rápida complexa de Fourier sobre arrays em ponto flutuante unidimensionais. A transformação inversa é definida como

      x[j]: sum (y[j] exp (+2 %i %pi j k / n), k, 0, n-1)

  Veja `fft` para maiores detalhes.

Função: fft (real_array, imaginary_array)
Função: ift (real_array, imaginary_array)
Função: recttopolar (real_array, imaginary_array)
Função: polartorect (magnitude_array, phase_array)

  Transformação rápidada de Fourier e funções relacionadas. `load ("fft")` chama essas funções dentro do Maxima.

  `fft` e `ift` realiza transformação rápida complexa de Fourier e a transformação inversa, respectivamente, sobre arrays em ponto flutuante unidimensionais. O tamanho de imaginary_array deve ser igual ao tamanho de real_array.

  `fft` e `ift` operam in-loco. Isto é, sobre o retorno de `fft` ou de `ift`, O conteúdo original dos arrays de entrada é substituído pela saída. A função `fillarray` pode fazer uma cópia de um array, isso pode ser necessário.

  A transformação discreta de Fourier e sua transformação inversa são definidas como segue. Tome `x` sendo os dados originais, com

      x[i]: real_array[i] + %i imaginary_array[i]

  Tome `y` sendo os dados transformados. A transformação normal e sua transformação inversa são

      y[k]: (1/n) sum (x[j] exp (-2 %i %pi j k / n), j, 0, n-1)

      x[j]:       sum (y[j] exp (+2 %i %pi j k / n), k, 0, n-1)

  Arrays adequadas podem ser alocadas pela função `array`. Por exemplo:

      array (my_array, float, n-1)$

  declara um array unidimensional com n elementos, indexado de 0 a n-1 inclusive. O número de elementos n deve ser igual a 2^m para algum m.

  `fft` pode ser aplicada a dados reais (todos os arrays imaginários são iguais a zero) para obter coeficientes seno e co-seno. Após chamar `fft`, os coeficientes seno e co-seno, digamos `a` e `b`, podem ser calculados como

      a[0]: real_array[0]
      b[0]: 0

  e

      a[j]: real_array[j] + real_array[n-j]
      b[j]: imaginary_array[j] - imaginary_array[n-j]

  para j variando de 1 a n/2-1, e

      a[n/2]: real_array[n/2]
      b[n/2]: 0

  `recttopolar` traduz valores complexos da forma `a + b %i` para a forma `r %e^(%i t)`. Veja `recttopolar`.

  `polartorect` traduz valores complexos da forma `r %e^(%i t)` para a forma `a + b %i`. Veja `polartorect`.

  `demo ("fft")` exibe uma demonstração do pacote `fft`.

Variável de opção: fortindent

  Valor por omissão: 0

  `fortindent` controla a margem esquerda de indentação de expressões mostradas pelo comando `fortran`. 0 fornece indentação normal (i.e., 6 espaços), e valores positivos farão com que expressões sejam mostrados mais além para a direita.

Função: fortran (expr)

  Mostra expr como uma declaração Fortran. A linha de saída é indentada com espaços. Se a linha for muito longa, `fortran` imprime linhas de continuação. `fortran` mostra o operador de exponenciação `^` como `**`, e mostra um número complexo `a + b %i` na forma `(a,b)`.

  expr pode ser uma equação. Nesse caso, `fortran` mostra uma declaração de atribuição, atribuindo o primeiro membro (esquerda) da equação ao segundo membro (direita). Em particular, se o primeiro membro expr é um nome de uma matriz, então `fortran` mostra uma declaração de atribuição para cada elemento da matriz.

  Se expr não for alguma coisa reconhecida por `fortran`, a expressão é mostrada no formato `grind` sem reclamação. `fortran` não conhece listas, arrays ou funções.

  `fortindent` controla o margem esquerda das linhas mostradas. 0 é a margem normal (i.e., indentada 6 espaços). Incrementando `fortindent` faz com que expressões sejam mostradas adiante para a direita.

  quando `fortspaces` for `true`, `fortran` preenche cada linha mostrada com espaços em branco até completar 80 columas.

  `fortran` avalia seus argumentos; colocando um apóstrofo em um argumento evita avaliação. `fortran` sempre retorna `done`.

  Exemplos:

      (%i1) expr: (a + b)^12$
      (%i2) fortran (expr);
            (b+a)**12
      (%o2)                         done
      (%i3) fortran ('x=expr);
            x = (b+a)**12
      (%o3)                         done
      (%i4) fortran ('x=expand (expr));
            x = b**12+12*a*b**11+66*a**2*b**10+220*a**3*b**9+495*a**4*b**8+792
           1   *a**5*b**7+924*a**6*b**6+792*a**7*b**5+495*a**8*b**4+220*a**9*b
           2   **3+66*a**10*b**2+12*a**11*b+a**12
      (%o4)                         done
      (%i5) fortran ('x=7+5*%i);
            x = (7,5)
      (%o5)                         done
      (%i6) fortran ('x=[1,2,3,4]);
            x = [1,2,3,4]
      (%o6)                         done
      (%i7) f(x) := x^2$
      (%i8) fortran (f);
            f
      (%o8)                         done

Variável de opção: fortspaces

  Valor por omissão: `false`

  Quando `fortspaces` for `true`, `fortran` preenche cada linha mostrada com espaços em branco até completar 80 columas.

Função: horner (expr, x)
Função: horner (expr)

  Retorna uma representação rearranjada de expr como na regra de Horner, usando x como variável principal se isso for especificado. `x` pode ser omitido e nesse caso a variável principal da forma de expressão racional canónica de expr é usada.

  `horner` algumas vezes melhora a estabilidade se `expr` for ser numericamente avaliada. Isso também é útil se Maxima é usado para gerar programas para rodar em Fortran. Veja também `stringout`.

      (%i1) expr: 1e-155*x^2 - 5.5*x + 5.2e155;
                                 2
      (%o1)            1.0E-155 x  - 5.5 x + 5.2E+155
      (%i2) expr2: horner (%, x), keepfloat: true;
      (%o2)            (1.0E-155 x - 5.5) x + 5.2E+155
      (%i3) ev (expr, x=1e155);
      Maxima encountered a Lisp error:

       floating point overflow

      Automatically continuing.
      To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
      (%i4) ev (expr2, x=1e155);
      (%o4)                       7.0E+154

Função: find_root (f(x), x, a, b)
Função: find_root (f, a, b)

  Encontra a raíz da função f com a variável x percorrendo o intervalo `[a, b]`. A função deve ter um sinal diferente em cada ponto final. Se essa condição não for alcançada, a action of the function is governed by `find_root_error`. If `find_root_error` is `true` then an error occurs, otherwise the value of `find_root_error` is returned (thus for plotting `find_root_error` might be set to 0.0). De outra forma (dado que Maxima pode avaliar o primeiro argumento no intervalo especificado, e que o intervalo é contínuo) `find_root` é garantido vir para cima com a raíz (ou um deles se existir mais que uma raíz). A precisão de `find_root` é governada por `intpolabs` e `intpolrel` os quais devem ser números em ponto flutuante não negativos. `find_root` encerrará quando o primeiro argumento avaliar para alguma coisa menor que ou igual a `intpolabs` ou se sucessivas aproximações da raíz diferirem por não mais que `intpolrel * <um dos aproximandos>`. O valor padrão de `intpolabs` e `intpolrel` são 0.0 de forma que `find_root` pega como boa uma resposta como for possível com a precisão aritmética simples que tivermos. O primeiro argumento pode ser uma equação. A ordem dos dois últimos argumentos é irrelevante. Dessa forma

      find_root (sin(x) = x/2, x, %pi, 0.1);

  é equivalente a

      find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);

  O método usado é uma busca binária no intervalo especificado pelos últimos dois argumentos. Quando o resultado da busca for encontrado a função é fechada o suficiente para ser linear, isso inicia usando interpolação linear.

  Examples:

      (%i1) f(x) := sin(x) - x/2;
                                              x
      (%o1)                  f(x) := sin(x) - -
                                              2
      (%i2) find_root (sin(x) - x/2, x, 0.1, %pi);
      (%o2)                   1.895494267033981
      (%i3) find_root (sin(x) = x/2, x, 0.1, %pi);
      (%o3)                   1.895494267033981
      (%i4) find_root (f(x), x, 0.1, %pi);
      (%o4)                   1.895494267033981
      (%i5) find_root (f, 0.1, %pi);
      (%o5)                   1.895494267033981

Variável de opção: find_root_abs

  Valor por omissão: 0.0

  `find_root_abs` é a precisão do comando `find_root`. A precisão é governada por `find_root_abs` e `find_root_rel` que devem ser números não negativos em ponto flutuante. `find_root` terminará quando o primeiro argumento avaliar para alguma coisa menor que ou igual a `find_root_abs` ou se sucessivos aproximandos para a raíz diferirem por não mais que `find_root_rel * <um dos aproximandos>`. Os valores padrão de `find_root_abs` e `find_root_rel` são 0.0 de forma que `find_root` tome como boa uma resposta que for possível com a precisão aritmética simples que tivermos.

Variável de opção: find_root_error

  Valor por omissão: `true`

  `find_root_error` governa o comportamento de `find_root`. Quando `find_root` for chamada, ela determina se a função a ser resolvida satisfaz ou não a condição que os valores da função nos pontos finais do intervalo de interpolação são opostos em sinal. Se eles forem de sinais opostos, a interpolação prossegue. Se eles forem de mesmo sinal, e `find_root_error` for `true`, então um erro é sinalizado. Se eles forem de mesmo sinal e `find_root_error` não for `true`, o valor de `find_root_error` é retornado. Dessa forma para montagem de gráfico, `find_root_error` pode ser escolhida para 0.0.

Variável de opção: find_root_rel

  Valor por omissão: 0.0

  `find_root_rel` é a precisão do comando `find_root` e é governada por `find_root_abs` e `find_root_rel` que devem ser números não negativos em ponto flutuante. `find_root` terminará quando o primeiro argumento avaliar para alguma coisa menor que ou igual a `find_root_abs` ou se sucessivos aproximandos para a raíz diferirem de não mais que `find_root_rel * <um dos aproximandos>`. Os valores padrão de `find_root_labs` e `find_root_rel` é 0.0 de forma que `find_root` toma como boa uma resposta que for possível com a precisão aritmética simples que tivermos.

Função: newton (expr, x, x_0, eps)

  Retorna uma solução aproximada de `expr = 0` através do método de Newton, considerando expr como sendo uma função de uma variável, x. A busca pela solução começa com `x = x_0` e prossegue até `abs(expr) < eps` (com expr avaliada para o valor corrente de x).

  `newton` permite que variáveis indefinidas apareçam em expr, contanto que o teste de terminação `abs(expr) < eps` avalie para `true` ou `false`. Dessa forma não é necessário que expr avalie para um número.

  `load(newton1)` chama essa função.

  Veja também `realroots`, `allroots`, `find_root`, e `mnewton`.

  Exemplos:

      (%i1) load (newton1);
      (%o1) /usr/share/maxima/5.10.0cvs/share/numeric/newton1.mac
      (%i2) newton (cos (u), u, 1, 1/100);
      (%o2)                   1.570675277161251
      (%i3) ev (cos (u), u = %);
      (%o3)                 1.2104963335033528E-4
      (%i4) assume (a > 0);
      (%o4)                        [a > 0]
      (%i5) newton (x^2 - a^2, x, a/2, a^2/100);
      (%o5)                  1.00030487804878 a
      (%i6) ev (x^2 - a^2, x = %);
                                                 2
      (%o6)                6.098490481853958E-4 a

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## 23.4 Definições para Séries de Fourier

Função: equalp (x, y)

  Retorna `true` se `equal (x, y)` de outra forma `false` (não fornece uma mensagem de erro como `equal (x, y)` poderia fazer nesse caso).

Função: remfun (f, expr)
Função: remfun (f, expr, x)

  `remfun (f, expr)` substitue todas as ocorrências de `f (arg)` por arg em expr.

  `remfun (f, expr, x)` substitue todas as ocorrências de `f (arg)` por arg em expr somente se arg contiver a variável x.

Função: funp (f, expr)
Função: funp (f, expr, x)

  `funp (f, expr)` retorna `true` se expr contém a função f.

  `funp (f, expr, x)` retorna `true` se expr contém a função f e a variável x em algum lugar no argumento de uma das instâncias de f.

Função: absint (f, x, halfplane)
Função: absint (f, x)
Função: absint (f, x, a, b)

  `absint (f, x, halfplane)` retorna a integral indefinida de f com relação a x no dado semi-plano (`pos`, `neg`, ou `both`). f pode conter expressões da forma `abs (x)`, `abs (sin (x))`, `abs (a) * exp (-abs (b) * abs (x))`.

  `absint (f, x)` é equivalente a `absint (f, x, pos)`.

  `absint (f, x, a, b)` retorna a integral definida de f com relação a x de a até b. f pode incluir valores absolutos.

Função: fourier (f, x, p)

  Retorna uma lista de coeficientes de Fourier de `f(x)` definidos sobre o intervalo `[-p, p]`.

Função: foursimp (l)

  Simplifica `sin (n %pi)` para 0 se `sinnpiflag` for `true` e `cos (n %pi)` para `(-1)^n` se `cosnpiflag` for `true`.

Variável de opção: sinnpiflag

  Valor por omissão: `true`

  Veja `foursimp`.

Variável de opção: cosnpiflag

  Valor por omissão: `true`

  Veja `foursimp`.

Função: fourexpand (l, x, p, limit)

  Constrói e retorna a série de Fourier partindo da lista de coeficientes de Fourier l até (up through) limit termos (limit pode ser `inf`). x e p possuem o mesmo significado que em `fourier`.

Função: fourcos (f, x, p)

  Retorna os coeficientes do co-seno de Fourier para `f(x)` definida sobre `[0, %pi]`.

Função: foursin (f, x, p)

  Retorna os coeficientes do seno de Fourier para `f(x)` definida sobre `[0, p]`.

Função: totalfourier (f, x, p)

  Retorna `fourexpand (foursimp (fourier (f, x, p)), x, p, 'inf)`.

Função: fourint (f, x)

  Constrói e retorna uma lista de coeficientes de integral de Fourier de `f(x)` definida sobre `[minf, inf]`.

Função: fourintcos (f, x)

  Retorna os coeficientes da integral do co-seno de Fourier para `f(x)` on `[0, inf]`.

Função: fourintsin (f, x)

  Retorna os coeficientes da integral do seno de Fourier para `f(x)` on `[0, inf]`.

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