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# 67. stats

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## 67.1 Introdução a stats

O pacote `stats` contém um conjunto de procedimentos de inferência clássica estatística e procedimentos de teste.

Todas essas funções retornam um objecto do Maxima chamado `inference_result` que contém os resultados necessários para inferências de manipulação e tomada de decisões.

A variável global `stats_numer` controla se resultados são mostrados em ponto flutuante ou simbólico e no formato racional; seu valor padrão é `true` e os resultados são retornados no formato de ponto flutuante.

O pacote `descriptive` contém alguns utilitários para manipular estruturas de dados (listas e matrizes); por exemplo, para extrair subamostras. O pacote `descriptive` também contém alguns exemplos sobre como usar o pacote `numericalio` para ler dados a partir de ficheiro no formato texto plano. Veja `descriptive` e `numericalio` para maiores detalhes.

O pacote `stats` precisa dos pacotes `descriptive`, `distrib` e `inference_result`.

Para comentários, erros ou sugestões, por favor contate o autor em

'mario AT edu DOT xunta DOT es'.

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## 67.2 Definições para inference_result

Função: inference_result (título, valores, números)

  Constrói um objecto `inference_result` do tipo retornado pelas funções stats. O argumento título é uma sequência de caracteres do Maxima co o nome do procedimento; valores é uma lissta com elementos da forma `símbolo = valor` e números é uma lista com números inteiros positivos no intervalo de um para `length(valores)`, indicando que valores serão mostrados por padrão.

  Exemplo:

  Este é um exemplo que mostras os resultados associados a um retángulo. O título deste bojeto é a sequência de caraceteres `"Retângulo"`, o qual armazena cinco resultados, a saber, `'base`, `'altura`, `'diagonal`, `'área` y `'perímetro`, porém só mostra o primeiro, segundo, quinto e quarto resultado. O resultado `'diagonal` também é armazenado neste objecto, no entanto não é mostrado por padrão; para se ter acesso a este valor, faz-se uso da função `take_inference`.

      (%i1) load(inference_result)$
      (%i2) b: 3$ h: 2$
      (%i3) inference_result("Retângulo",
                              ['base=b,
                               'altura=h,
                               'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
                               'área=b*h,
                               'perímetro=2*(b+h)],
                              [1,2,5,4] );
                              |   Retângulo
                              |
                              |    base = 3
                              |
      (%o3)                   |   altura = 2
                              |
                              | perímetro = 10
                              |
                              |    area = 6
      (%i4) take_inference('diagonal,%);
      (%o4)                        sqrt(13)

  Veja também `take_inference`.

Função: inferencep (obj)

  Retorna `true` ou `false`, dependendo se obj é um objecto `inference_result` ou não.

Função: items_inference (obj)

  Retorna uma lista com os nomes dos itens em obj, que devem ser um objecto `inference_result`.

  Exemplo:

  O objecto `inference_result` armazena dois valores, a saber `'pi` e `'e`, mas somente o segundo é mostrado. A função `items_inference` retorna os nomes de todos os itens, não importa se eles são ou não mostrados.

      (%i1) load(inference_result)$
      (%i2) inference_result("Hi", ['pi=%pi,'e=%e],[2]);
                                  |   Hi
      (%o2)                       |
                                  | e = %e
      (%i3) items_inference(%);
      (%o3)                        [pi, e]

Função: take_inference (n, obj)
Função: take_inference (nome, obj)
Função: take_inference (lista, obj)

  Retorna o n-ésimo valor armazenado em obj se n for um inteiro positivo, ou o item chamado nome se esse for o nome de um item. Se o primeiro argumento for uma lista de números e/ou símbolos, a função `take_inference` retorna uma lista com os resultados correspondentes.

  Exemplo:

  Fornece um objecto `inference_result`, a função `take_inference` é chamada com o objectivo de extrair alguma informação armazenada nesse objecto.

      (%i1) load(inference_result)$
      (%i2) b: 3$ h: 2$
      (%i3) sol: inference_result("Retângulo",
                                  ['base=b,
                                   'altura=h,
                                   'diagonal=sqrt(b^2+h^2),
                                   'area=b*h,
                                   'perímetro=2*(b+h)],
                                  [1,2,5,4] );
                              |   Retângulo
                              |
                              |    base = 3
                              |
      (%o3)                   |   altura = 2
                              |
                              | perímetro = 10
                              |
                              |    area = 6
      (%i4) take_inference('base,sol);
      (%o4)                           3
      (%i5) take_inference(5,sol);
      (%o5)                          10
      (%i6) take_inference([1,'diagonal],sol);
      (%o6)                     [3, sqrt(13)]
      (%i7) take_inference(items_inference(sol),sol);
      (%o7)                [3, 2, sqrt(13), 6, 10]

  Veja também `inference_result` e `take_inference`.

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## 67.3 Definições para stats

Variável de opção: stats_numer

  Valor por omissão: `true`

  Se `stats_numer` for `true`, funções de inferência estatística retornam seus resultados em números com ponto flutuante. Se `stats_numer` for `false`, resultados são fornecidos em formato simbólico e racional.

Função: test_mean (x)
Função: test_mean (x, opção_1, opção_2, ...)

  Esse é o teste-t de média. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional. `test_mean` tamb;em executa um teste assintótico baseado no Teorema do Limite Central se a opção `'asymptotic` for `true`.

  Opções:

  - `'mean`, o valor padrão é `0`, é o valor da média a ser verificado.
  - `'alternative`, o valor padrão é `'twosided`, é a hipótese alternativa; valores válidos são: `'twosided`, `'greater` e `'less`.
  - `'dev`, o valor padrão é `'unknown`, corresponde ao valor do desvio padrão quando esse valor de desvio padrão for conhecido; valores válidos são: `'unknown` ou uma expressão positiva.
  - `'conflevel`, o valor padrão é `95/100`, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve ser uma expressão que toma um valor em (0,1).
  - `'asymptotic`, o valor padrão é `false`, indica se `test_mean` exeecuta um teste-t exato ou um teste assintótico baseando-se no Teorema do Limite Central; valores válidos são `true` e `false`.

  A saída da função `test_mean` é um objecto `inference_result` do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. `'mean_estimate`: a média da amostra.
  2. `'conf_level`: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. `'conf_interval`: intervalo de confidência para a média da população.
  4. `'method`: procedimento de inferência.
  5. `'hypotheses`: hipótese do nulo e hipótese alternativa a ser testada.
  6. `'statistic`: valor da amostra estatística a ser usado para testar a hipótese do nulo.
  7. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetro(s).
  8. `'p_value`: valores de p do teste.

  Exemplos:

  Executa um teste-t exato com variância desconhecida. A hipótese do nulo é H_0: mean=50 contra a alternativa unilatera H_1: mean<50; conforme os resultados, o valor de p é muito grande, não existem evidências paa rejeitar H_0.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) data: [78,64,35,45,45,75,43,74,42,42]$
      (%i3) test_mean(data,'conflevel=0.9,'alternative='less,'mean=50);
                |                 MEAN TEST
                |
                |            mean_estimate = 54.3
                |
                |              conf_level = 0.9
                |
                | conf_interval = [minf, 61.51314273502712]
                |
      (%o3)     |  method = Exact t-test. Unknown variance.
                |
                | hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean < 50
                |
                |       statistic = .8244705235071678
                |
                |       distribution = [student_t, 9]
                |
                |        p_value = .7845100411786889

  Nesta ocasião Maxima executa um testte assintótico, baseado no Teorema do Limite Central. A hipótese do nulo é H_0: equal(mean, 50) contra a alternativa de duas vias H_1: not equal(mean, 50); conforme os resultados, o valor de p é muito pequeno, H_0 pode ser rejeitado em favor da alternativa H_1. Note que, como indicado pela componente `Method`, esse procedimento pode ser aplicado a grandes amostras.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) test_mean([36,118,52,87,35,256,56,178,57,57,89,34,25,98,35,
                    98,41,45,198,54,79,63,35,45,44,75,42,75,45,45,
                    45,51,123,54,151],
                    'asymptotic=true,'mean=50);
                |                       MEAN TEST
                |
                |           mean_estimate = 74.88571428571429
                |
                |                   conf_level = 0.95
                |
                | conf_interval = [57.72848600856194, 92.04294256286663]
                |
      (%o2)     |    method = Large sample z-test. Unknown variance.
                |
                |       hypotheses = H0: mean = 50 , H1: mean # 50
                |
                |             statistic = 2.842831192874313
                |
                |             distribution = [normal, 0, 1]
                |
                |             p_value = .004471474652002261

Função: test_means_difference (x1, x2)
Função: test_means_difference (x1, x2, opção_1, opção_2, ...)

  Esse é o teste-t de diferença de médias entre duas amostras. Os argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas contendo duas amostras independentes. No caso de diferentes variâncias desconhecidas (veja opções `'dev1`, `'dev2` e `'varequal` abaixo), os graus de liberdade são calculados por meio da aproximação de Welch. `test_means_difference` também executa um teste assintótico baseado no Teorema do Limite Central se a opção `'asymptotic` for escolhida para `true`.

  Opções:

  - `'alternative`, o valor padrão é `'twosided`, é a hipótese alternativa; valores válidos são: `'twosided`, `'greater` e `'less`.
  - `'dev1`, o valor padrão é `'unknown`, é o valor do desvio padrão da amostra x1 quando esse desvio for conhecido; valores válidos são: `'unknown` ou uma expressão positiva.
  - `'dev2`, o valor padrão é `'unknown`, é o valor do desvio padrão da amostra x2 quando esse desvio for conhecido; valores válidos são: `'unknown` ou uma expressão positiva.
  - `'varequal`, o valor padrão é `false`, se variâncias podem serem consideradas como iguais ou não; essa opção tem efeito somente quando `'dev1` e/ou `'dev2` forem `'unknown`.
  - `'conflevel`, o valor padrão é `95/100`, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve ser uma expressão que toma valores em (0,1).

    Nota de Tradução: (0,1) representa intervalo aberto.

  - `'asymptotic`, o valor padrão é `false`, indica se `test_means_difference` executa um teste-t exato ou um teste assíntótico baseando-se no Teorema do Limite Central; valores válidos são `true` e `false`.

  A saída da função `test_means_difference` é um objecto `inference_result` do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. `'diff_estimate`: a diferença de médias estimadas.
  2. `'conf_level`: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. `'conf_interval`: intervalo de confidência para a diferença de médias.
  4. `'method`: procedimento de inferência.
  5. `'hypotheses`: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  6. `'statistic`: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  7. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
  8. `'p_value`: valor de p do teste.

  Exemplos:

  A igualdade de médias é testada com duas pequenas amostras x e y, contra a alternativa H_1: m_1>m_2, sendo m_1 e m_2 as médias das populações; variâncias são desconhecidas e supostamente admitidas para serem diferentes.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
      (%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
      (%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater);
                  |              DIFFERENCE OF MEANS TEST
                  |
                  |         diff_estimate = 20.31999999999999
                  |
                  |                 conf_level = 0.95
                  |
                  |    conf_interval = [- .04597417812882298, inf]
                  |
      (%o4)       |        method = Exact t-test. Welch approx.
                  |
                  | hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
                  |
                  |           statistic = 1.838004300728477
                  |
                  |    distribution = [student_t, 8.62758740184604]
                  |
                  |            p_value = .05032746527991905

  O mesmo teste que antes, mas agora as variâncias são admitidas serem supostamente iguais.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
      (%i3) y: matrix([1.2],[6.9],[38.7],[20.4],[17.2])$
      (%i4) test_means_difference(x,y,'alternative='greater,'varequal=true);
                  |              DIFFERENCE OF MEANS TEST
                  |
                  |         diff_estimate = 20.31999999999999
                  |
                  |                 conf_level = 0.95
                  |
                  |     conf_interval = [- .7722627696897568, inf]
                  |
      (%o4)       |   method = Exact t-test. Unknown equal variances
                  |
                  | hypotheses = H0: mean1 = mean2 , H1: mean1 > mean2
                  |
                  |           statistic = 1.765996124515009
                  |
                  |           distribution = [student_t, 9]
                  |
                  |            p_value = .05560320992529344

Função: test_variance (x)
Função: test_variance (x, opção_1, opção_2, ...)

  Esse é o teste da variância chi^2. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional tomada entre a população normal.

  Opções:

  - `'mean`, o valor padrão é `'unknown`, é a média da população, quando for conhecida.
  - `'alternative`, o valor padrão é `'twosided`, é a hipótese alternativa; valores válidos são: `'twosided`, `'greater` e `'less`.
  - `'variance`, o valor padrão é `1`, isso é o valor (positivo) da variância a ser testado.
  - `'conflevel`, o valor padrão é `95/100`, nível de confidência para o intervalo de confidência; deve ser uma expressão que toma valores em (0,1).

  A saída da função `test_variance` está no objecto `inference_result` do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. `'var_estimate`: a variância da amostra.
  2. `'conf_level`: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. `'conf_interval`: intervalo de confidência para a variância da população.
  4. `'method`: procedimento de inferência.
  5. `'hypotheses`: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  6. `'statistic`: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  7. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
  8. `'p_value`: o valor de p do teste.

  Exemplos:

  Isso é testado se a variância de uma população com média desconhhecida for igual ou maior que 200.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x: [203,229,215,220,223,233,208,228,209]$
      (%i3) test_variance(x,'alternative='greater,'variance=200);
                   |                  VARIANCE TEST
                   |
                   |              var_estimate = 110.75
                   |
                   |                conf_level = 0.95
                   |
                   |     conf_interval = [57.13433376937479, inf]
                   |
      (%o3)        | method = Variance Chi-square test. Unknown mean.
                   |
                   |    hypotheses = H0: var = 200 , H1: var > 200
                   |
                   |                 statistic = 4.43
                   |
                   |             distribution = [chi2, 8]
                   |
                   |           p_value = .8163948512777689

Função: test_variance_ratio (x1, x2)
Função: test_variance_ratio (x1, x2, opção_1, opção_2, ...)

  Isso é o teste F da razão de variância para duas populações normais. Os argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas contendo duas amostras independentes.

  Opções:

  - `'alternative`, o valor padrão é `'twosided`, é a hipótese alternativa; valores válidos são: `'twosided`, `'greater` e `'less`.
  - `'mean1`, o valor padrão é `'unknown`, quando for conhecida, isso é a média da população da qual x1 foi tomada.
  - `'mean2`, o valor padrão é `'unknown`, quando for conhecida, isso é a média da população da qual x2 foi tomada.
  - `'conflevel`, o valor padrão é `95/100`, nível de confidência para o intervalo de confidência da razão; deve ser uma expressão que tome valores em (0,1).

  A saída da função `test_variance_ratio` é um objecto `inference_result` do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. `'ratio_estimate`: a razão de variância da amostra.
  2. `'conf_level`: nível de confidência seleccionado pelo utilizador.
  3. `'conf_interval`: intervalo de confidência para a razão de variância.
  4. `'method`: procedimento de inferência.
  5. `'hypotheses`: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  6. `'statistic`: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  7. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
  8. `'p_value`: o valor de p do teste.

  Exemplos:

  a igualdade das variâncias de duas populações normais é verificado contra a alternativa que a primeira é maior que a segunda.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x: [20.4,62.5,61.3,44.2,11.1,23.7]$
      (%i3) y: [1.2,6.9,38.7,20.4,17.2]$
      (%i4) test_variance_ratio(x,y,'alternative='greater);
                    |              VARIANCE RATIO TEST
                    |
                    |       ratio_estimate = 2.316933391522034
                    |
                    |               conf_level = 0.95
                    |
                    |    conf_interval = [.3703504689507268, inf]
                    |
      (%o4)         | method = Variance ratio F-test. Unknown means.
                    |
                    | hypotheses = H0: var1 = var2 , H1: var1 > var2
                    |
                    |         statistic = 2.316933391522034
                    |
                    |            distribution = [f, 5, 4]
                    |
                    |          p_value = .2179269692254457

Função: test_sign (x)
Função: test_sign (x, opção_1, opção_2, ...)

  Esse é o teste de sinal não paramétrico para a mediana de uma população contínua. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional.

  Opções:

  - `'alternative`, o valor padrão é `'twosided`, é a hipótese alternativa; valores válidos são: `'twosided`, `'greater` e `'less`.
  - `'median`, o valor padrão é `0`, é o valor da mediana a ser verificado.

  A saída da função `test_sign` é um objecto `inference_result` do Maxima mostrando os seguintes resultados:

  1. `'med_estimate`: a mediana da amostra.
  2. `'method`: procedimento de inferência.
  3. `'hypotheses`: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  4. `'statistic`: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
  5. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
  6. `'p_value`: o valor de p do teste.

  Exemplos:

  Verifica se a população da qual a amostra foi tomada tem mediana 6, contra a alternativa H_1: median > 6.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x: [2,0.1,7,1.8,4,2.3,5.6,7.4,5.1,6.1,6]$
      (%i3) test_sign(x,'median=6,'alternative='greater);
                     |                  SIGN TEST
                     |
                     |              med_estimate = 5.1
                     |
                     |      method = Non parametric sign test.
                     |
      (%o3)          | hypotheses = H0: median = 6 , H1: median > 6
                     |
                     |                statistic = 7
                     |
                     |      distribution = [binomial, 10, 0.5]
                     |
                     |         p_value = .05468749999999989

Função: test_signed_rank (x)
Função: test_signed_rank (x, opção_1, opção_2, ...)

  Esse é o teste de ranque sinalizado de Wilcoxon para fazer inferências sobre a mediana de uma população contínua. O argumento x é uma lista ou uma matriz coluna contendo uma amostra unidimensional. Executa uma aproximação normal se o tamanho da amostra for maior que 20, ou se existirem zeros ou houverem empates.

  Veja também `pdf_rank_test` e `cdf_rank_test`.

  Opções:

  - `'median`, o valor padrão é `0`, é o valor da mediana a ser verificado.
  - `'alternative`, o valor padrão é `'twosided`, é a hipótese alternativa; valores válidos são: `'twosided`, `'greater` e `'less`.

  A saída da função `test_signed_rank` é um objecto `inference_result` do Maxima com os seguintes resultados:

  1. `'med_estimate`: a mediana da amostra.
  2. `'method`: procedimento de inferência.
  3. `'hypotheses`: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  4. `'statistic`: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  5. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu(s) parâmetro(s).
  6. `'p_value`: o valor de p do teste.

  Exemplos:

  Verifica a hipótese do nulo H_0: median = 15 contra a alternativa H_1: median > 15. Esse é um teste exato, ua vez que não exite empates.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x: [17.1,15.9,13.7,13.4,15.5,17.6]$
      (%i3) test_signed_rank(x,median=15,alternative=greater);
                       |             SIGNED RANK TEST
                       |
                       |           med_estimate = 15.7
                       |
                       |           method = Exact test
                       |
      (%o3)            | hypotheses = H0: med = 15 , H1: med > 15
                       |
                       |              statistic = 14
                       |
                       |     distribution = [signed_rank, 6]
                       |
                       |            p_value = 0.28125

  Verifica a hipótese do nulo H_0: equal(median, 2.5) contra a alternativa H_1: not equal(median, 2.5). Esse é um teste aproximado, uma vez que ocorrem empates.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) y:[1.9,2.3,2.6,1.9,1.6,3.3,4.2,4,2.4,2.9,1.5,3,2.9,4.2,3.1]$
      (%i3) test_signed_rank(y,median=2.5);
                   |                 SIGNED RANK TEST
                   |
                   |                med_estimate = 2.9
                   |
                   |          method = Asymptotic test. Ties
                   |
      (%o3)        |    hypotheses = H0: med = 2.5 , H1: med # 2.5
                   |
                   |                 statistic = 76.5
                   |
                   | distribution = [normal, 60.5, 17.58195097251724]
                   |
                   |           p_value = .3628097734643669

Função: test_rank_sum (x1, x2)
Função: test_rank_sum (x1, x2, opção_1)

  Esse é o teste de Wilcoxon-Mann-Whitney para comparação das medianas de duas populações contínuas. Os primeiros dois argumentos x1 e x2 são listas ou matrizes colunas com os dados de duas amostras independentes. Executa aproximação normal se quaisquer dos tamanhos de amostra for maior que 10, ou se houverem empates.

  Opção:

  - `'alternative`, o valor padrão é `'twosided`, é a hipótese alternativa; valores válidos são: `'twosided`, `'greater` e `'less`.

  A saída da função `test_rank_sum` é um objecto `inference_result` do Maxima com os seguintes resultados:

  1. `'method`: procedimento de inferência.
  2. `'hypotheses`: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa a serem testadas.
  3. `'statistic`: valor da amostra estatística usada para testar a hipótese do nulo.
  4. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seus parâmetros.
  5. `'p_value`: o valor de p do teste.

  Exemplos:

  Verifica se populações possuem medianas similares. Tamanhos de amotra são pequenos e é feito um teste exato.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
      (%i3) y:[21,18,25,14,52,65,40,43]$
      (%i4) test_rank_sum(x,y);
                    |                 RANK SUM TEST
                    |
                    |              method = Exact test
                    |
                    | hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 # med2
      (%o4)         |
                    |                 statistic = 22
                    |
                    |        distribution = [rank_sum, 9, 8]
                    |
                    |          p_value = .1995886466474702

  Agora, com grandes amostras e empates, o procedimento faz aproximação norma. A hipótese alternativa é H_1: median1 < median2.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x: [39,42,35,13,10,23,15,20,17,27]$
      (%i3) y: [20,52,66,19,41,32,44,25,14,39,43,35,19,56,27,15]$
      (%i4) test_rank_sum(x,y,'alternative='less);
                   |                  RANK SUM TEST
                   |
                   |          method = Asymptotic test. Ties
                   |
                   |  hypotheses = H0: med1 = med2 , H1: med1 < med2
      (%o4)        |
                   |                 statistic = 48.5
                   |
                   | distribution = [normal, 79.5, 18.95419580097078]
                   |
                   |           p_value = .05096985666598441

Função: test_normality (x)

  Teste de Shapiro-Wilk para normalidade. O argumento x é uma lista de números, e o tamanho da amostra deve ser maior que 2 e menor ou igua a 5000, de outra forma, a função `test_normality` sinaliza com um erro.

  Referência:

  [1] Algorithm AS R94, Applied Statistics (1995), vol.44, no.4, 547-551

  A saída da função `test_normality` é um objecto `inference_result` do Maxima com os seguintes resultados:

  1. `'statistic`: valor do W estatístico.
  2. `'p_value`: valor de p sob a hipótese de normalidade.

  Exemplos:

  Verifica a normalidade de uma população, baseada em uma amostra de tamanho 9.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) x:[12,15,17,38,42,10,23,35,28]$
      (%i3) test_normality(x);
                             |      SHAPIRO - WILK TEST
                             |
      (%o3)                  | statistic = .9251055695162436
                             |
                             |  p_value = .4361763918860381

Função: simple_linear_regression (x)
Função: simple_linear_regression (x opção_1)

  Regressão linear simples, y_i=a+b x_i+e_i, onde os e_i são N(0,sigma) variáveis aleatórias independentes. O argumento x deve ser uma matriz de duas colunas ou uma lista de pares.

  Opções:

  - `'conflevel`, o valor padrão é `95/100`, nível de confidência para o intervalo de confidência; isso deve ser uma expressão que tome valores em (0,1).
  - `'regressor`, o valor padrão é `'x`, nome da variável independente.

  A saída da função `simple_linear_regression` é um objecto `inference_result` do Maxima com os seguintes resultados:

  1. `'model`: a equação ajustada. Útil para fazer novas previsões. Veja exemplos abaixo.
  2. `'means`: média de duas variáveis pseudo-aleatórias.
  3. `'variances`: variâncias de ambas as variáveis.
  4. `'correlation`: coeficiente de correlação.
  5. `'adc`: coeficiente de determinação ajustado.
  6. `'a_estimation`: estimador do parâmetro a.
  7. `'a_conf_int`: intervalo de confidência do parâmetro a.
  8. `'b_estimation`: estimador do parâmetro b.
  9. `'b_conf_int`: intervalo de confidência do parâmetro b.
  10. `'hypotheses`: a hipótese do nulo e a hipótese alternativa sobre o parâmetro b.
  11. `'statistic`: valor da amostra estatística usado para testar a hipótese do nulo.
  12. `'distribution`: distribuição da amostra estatística, juntamente com seu parâmetro.
  13. `'p_value`: o valor de p do teste sobre b.
  14. `'v_estimation`: estimador de variância imparcial, ou variância residual.
  15. `'v_conf_int`: intervalo de confidência da variância.
  16. `'cond_mean_conf_int`: intervalo de confidência paa a média condicionada. Veja exemplos abaixo.
  17. `'new_pred_conf_int`: intervalo de confidência para uma nova previsão. Veja exemplos abaixo.
  18. `'residuals`: lista de pares (previsão, resíduo), ordenados em relação às previsões. Útil para achar o melhor da análise de ajuste. Veja exemplos abaixo.

  Somente os itens 1, 4, 14, 9, 10, 11, 12, e 13 acima, nessa ordem, são mostrados por padrão. Os restantes escondem-se até que o utilizador faça uso de funções `items_inference` e `take_inference`.

  Exemplo:

  Ajustando um modelo linear para uma amostras de duas variáveis. A entrada `%i4` monta p gráfico da amostra junto com a linha de regressão; a entrada `%i5` calcula `y` dado `x=113`; a média e o intervalo de confidência para uma nova previsão quando `x=113` são também calculados.

      (%i1) load("stats")$
      (%i2) s:[[125,140.7],[130,155.1],[135,160.3],[140,167.2],[145,169.8]]$
      (%i3) z:simple_linear_regression(s,conflevel=0.99);
                 |               SIMPLE LINEAR REGRESSION
                 |
                 |   model = 1.405999999999985 x - 31.18999999999804
                 |
                 |           correlation = .9611685255255155
                 |
                 |           v_estimation = 13.57966666666665
                 |
      (%o3)      | b_conf_int = [.04469633662525263, 2.767303663374718]
                 |
                 |          hypotheses = H0: b = 0 ,H1: b # 0
                 |
                 |            statistic = 6.032686683658114
                 |
                 |            distribution = [student_t, 3]
                 |
                 |             p_value = 0.0038059549413203
      (%i4) plot2d([[discrete, s], take_inference(model,z)],
                    [x,120,150],
                    [gnuplot_curve_styles, ["with points","with lines"]] )$
      (%i5) take_inference(model,z), x=133;
      (%o5)                         155.808
      (%i6) take_inference(means,z);
      (%o6)                     [135.0, 158.62]
      (%i7) take_inference(new_pred_conf_int,z), x=133;
      (%o7)              [132.0728595995113, 179.5431404004887]

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## 67.4 Definições para distribuições especiais

Função: pdf_signed_rank (x, n)

  Função densidade de probabilidade da distribuição exacta da estatística do rank sinalizado. O argumento x é um número real e n um inteiro positivo.

  Veja também `test_signed_rank`.

Função: cdf_signed_rank (x, n)

  Função de densidade cumulativa da distribuição exacta da estatística do rank sinalizado. O argumento x é um número real e n um inteiro positivo.

  Veja também `test_signed_rank`.

Função: pdf_rank_sum (x, n, m)

  Função densidade de probabilidade da distribuição exacta da estatística do somatório do rank. O argumento x é um número real e n e m são ambos inteiros positivos.

  Veja também `test_rank_sum`.

Função: cdf_rank_sum (x, n, m)

  Função de densidade cumulativa da distribuição exacta da estatística do somatório do rank. O argumento x é um número real e n e m são ambos inteiro positivos.

  Veja também `test_rank_sum`.

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