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# 17. Funções Elípticas

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## 17.1 Introdução a Funções Elípticas e Integrais

Maxima inclui suporte a funções elípticas Jacobianas e a integrais elípticas completas e incompletas. Isso inclui manipulação simbólica dessas funções e avaliação numérica também. Definições dessas funções e muitas de suas propriedades podem ser encontradas em Abramowitz e Stegun, Capítulos 16-17. Tanto quanto possível, usamos as definições e relações dadas aí.

Em particular, todas as funções elípticas e integrais elípticas usam o parâmetro m em lugar de módulo k ou o ângulo modular \alpha. Isso é uma área onde discordamos de Abramowitz e Stegun que usam o ângulo modular para as funções elípticas. As seguintes relações são verdadeiras:

As funções elípticas e integrais elípticas estão primariamente tencionando suportar computação simbólica. Portanto, a maiora das derivadas de funções e integrais são conhecidas. Todavia, se valores em ponto flutuante forem dados, um resultado em ponto flutuante é retornado.

Suporte para a maioria de outras propriedades das funções elípticas e integrais elípticas além das derivadas não foram ainda escritas.

Alguns exemplos de funções elípticas:

    (%i1) jacobi_sn (u, m);
    (%o1)                    jacobi_sn(u, m)
    (%i2) jacobi_sn (u, 1);
    (%o2)                        tanh(u)
    (%i3) jacobi_sn (u, 0);
    (%o3)                        sin(u)
    (%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
    (%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
    (%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
    (%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)

          elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
     (u - ------------------------------------)/(2 m)
                         1 - m

                2
       jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
     + --------------------------------
                  2 (1 - m)

Alguns exemplos de integrais elípticas:

    (%i1) elliptic_f (phi, m);
    (%o1)                  elliptic_f(phi, m)
    (%i2) elliptic_f (phi, 0);
    (%o2)                          phi
    (%i3) elliptic_f (phi, 1);
                                   phi   %pi
    (%o3)                  log(tan(--- + ---))
                                    2     4
    (%i4) elliptic_e (phi, 1);
    (%o4)                       sin(phi)
    (%i5) elliptic_e (phi, 0);
    (%o5)                          phi
    (%i6) elliptic_kc (1/2);
                                         1
    (%o6)                    elliptic_kc(-)
                                         2
    (%i7) makegamma (%);
                                     2 1
                                gamma (-)
                                       4
    (%o7)                      -----------
                               4 sqrt(%pi)
    (%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
                                    1
    (%o8)                 ---------------------
                                        2
                          sqrt(1 - m sin (phi))
    (%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
           elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
    (%o9) (-----------------------------------------------
                                  m

                                     cos(phi) sin(phi)
                                 - ---------------------)/(2 (1 - m))
                                                 2
                                   sqrt(1 - m sin (phi))

Suporte a funções elípticas e integrais elípticas foi escrito por Raymond Toy. Foi colocado sob os termos da Licençã Pública Geral (GPL) que governa a distribuição do Maxima.

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## 17.2 Definições para Funções Elípticas

Função: jacobi_sn (u, m)

  A Função elíptica Jacobiana sn(u,m).

Função: jacobi_cn (u, m)

  A função elíptica Jacobiana cn(u,m).

Função: jacobi_dn (u, m)

  A função elíptica Jacobiana dn(u,m).

Função: jacobi_ns (u, m)

  A função elíptica Jacobiana ns(u,m) = 1/sn(u,m).

Função: jacobi_sc (u, m)

  A função elíptica Jacobiana sc(u,m) = sn(u,m)/cn(u,m).

Função: jacobi_sd (u, m)

  A função elíptica Jacobiana sd(u,m) = sn(u,m)/dn(u,m).

Função: jacobi_nc (u, m)

  A função elíptica Jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

Função: jacobi_cs (u, m)

  A função elíptica Jacobiana cs(u,m) = cn(u,m)/sn(u,m).

Função: jacobi_cd (u, m)

  A função elíptica Jacobiana cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m).

Função: jacobi_nd (u, m)

  A função elíptica Jacobiana nc(u,m) = 1/cn(u,m).

Função: jacobi_ds (u, m)

  A função elíptica Jacobiana ds(u,m) = dn(u,m)/sn(u,m).

Função: jacobi_dc (u, m)

  A função elíptica Jacobiana dc(u,m) = dn(u,m)/cn(u,m).

Função: inverse_jacobi_sn (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana sn(u,m).

Função: inverse_jacobi_cn (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana cn(u,m).

Função: inverse_jacobi_dn (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana dn(u,m).

Função: inverse_jacobi_ns (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana ns(u,m).

Função: inverse_jacobi_sc (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana sc(u,m).

Função: inverse_jacobi_sd (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana sd(u,m).

Função: inverse_jacobi_nc (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana nc(u,m).

Função: inverse_jacobi_cs (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana cs(u,m).

Função: inverse_jacobi_cd (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana cd(u,m).

Função: inverse_jacobi_nd (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana nc(u,m).

Função: inverse_jacobi_ds (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana ds(u,m).

Função: inverse_jacobi_dc (u, m)

  A inversa da função elíptica Jacobiana dc(u,m).

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## 17.3 Definições para Integrais Elípticas

Função: elliptic_f (phi, m)

  A integral elíptica incompleta de primeiro tipo, definida como

  integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  Veja também elliptic_e e elliptic_kc.

Função: elliptic_e (phi, m)

  A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como

  elliptic_e(u, m) = integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi) Veja também elliptic_e e elliptic_ec.

Função: elliptic_eu (u, m)

  A integral elíptica incompleta de segundo tipo, definida como integrate(dn(v,m)^2,v,0,u) = integrate(sqrt(1-m*t^2)/sqrt(1-t^2), t, 0, tau)

  onde tau = sn(u,m)

  Isso é relacionado a elliptic_e através de Veja também elliptic_e.

Função: elliptic_pi (n, phi, m)

  A integral elíptica incompleta de terceiro tipo, definida como

  integrate(1/(1-n*sin(x)^2)/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, phi)

  Somente a derivada em relação a phi é conhecida pelo Maxima.

Função: elliptic_kc (m)

  A integral elíptica completa de primeiro tipo, definida como

  integrate(1/sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

  Para certos valores de m, o valor da integral é conhecido em termos de funções Gama. Use `makegamma` para avaliar esse valor.

Função: elliptic_ec (m)

  A integral elíptica completa de segundo tipo, definida como

  integrate(sqrt(1 - m*sin(x)^2), x, 0, %pi/2)

  Para certos valores de m, o valor da integral é conhecido em termos de funções Gama. Use `makegamma` para avaliar esse valor.

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