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# 62. plotdf

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## 62.1 Introdução a plotdf

A função `plotdf` cria um gráfico do campo de direcções para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, ou para um sistema de duas EDO's autónomas, de primeira ordem.

Por tratar-se de um pacote adicional, para poder usá-lo deverá primeiro carregá-lo com o comando `load("plotdf")`. Também é necessário que Xmaxima esteja instalado, inclusivamente se executar o Maxima desde outra interface diferente.

Para desenhar o campo de direcções de uma única EDO, essa equação deverá escrever-se na forma seguinte:

           dy
           -- = F(x,y)
           dx

e a função F será dada como argumento para o comando `plotdf`. A variável independente tem que ser sempre x e a variável dependente y. A essas duas variáveis não poderá estar associado nenhum valor numérico.

Para desenhar o campo de direcções de um sistema autónomo de duas EDO's, as duas equações devem ser escritas na forma seguinte

           dx             dy
           -- = G(x,y)    -- = F(x,y)
           dt             dt

e o argumento para o comando `plotdf` será uma lista com duas expressões para as funções F e G.

Quando se trabalha com uma única equação, `plotdf` assume implicitamente que `x=t` e `G(x,y)=1`, transformando a equação num sistema autónomo com duas equações.

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## 62.2 Definições para plotdf

Function: plotdf (dydx,...opções...)
Function: plotdf (`[`dxdt,dydt`]`,...opções...)

  Desenha um campo de direcções em duas dimensões x e y.

  dydx, dxdt e dydt são expressões que dependem de x e y. Para além dessas duas variáveis, as duas expressões podem depender de um conjunto de parâmetros, com valores numéricos que são dados por meio da opção `parameters` (a sintaxe dessa opção explica-se mais para a frente), ou com um intervalo de possíveis valores definidos com a opção sliders.

  Várias outras opções podem incluirem-se dentro do comando, ou serem seleccionadas no menú. Clicando num ponto do gráfico faz com que seja desenhada a curva integral que passa por esse ponto; o mesmo pode ser feito dando as coordenadas do ponto com a opção `trajectory_at` dentro do comando plotdf. A direcção de integração pode controlar-se com a opção `direction`, que aceita valores de forward, backward ou both. O número de passos realizados na integração numérica controla-se com a opção `nsteps` e o incremento do tempo em cada passo com a opção `tstep`. Usa-se o método de Adams Moulton para fazer a integração numérica; também é possível mudar para o método de Runge-Kutta de quarta ordem com ajuste de passos.

  Menú da janela do gráfico:

  O menú da janela gráfica inclui as seguintes opções: Zoom, que permite mudar o comportamento do rato, de maneira que servirá para fazer zoom na região do gráfico clicando com o botão esquerdo. Cada clic alarga a imagem mantendo no centro dela o ponto onde se clicou. Mantendo carregada a tecla `Shift` enquanto se faz clic, faz diminuir o tamanho. Para continuar a desenhar trajectórias com um clic, selecciona-se a opção Integrate do menú.

  A opção Config do menú pode usar-se para mudar a(s) EDO(S) e fazer alguns outros ajustes. Após ter feito alguma alteração, deverá usar a opção Replot para activar as novas configurações. Se introduzir duas coordenadas no campo Trajectory at do menú de diálogo do Config, e a seguir carregar na tecla `Enter`, será acrescentada mais uma curva integral. Se seleccionar a opção Replot, só será apresentada a última curva integral seleccionada.

  Mantendo o botão direito carregado enquanto se desloca o cursor, poderá arrastar o gráfico na horizontal e na vertical. Outros parâmetros, por exemplo, o número de passos, o valor inicial de t, as coordenadas do centro e o raio, podem ser alterados no sub-menú da opção Config.

  Com a opção Save, pode imprimir-se o gráfico numa impressora Postscript ou gravar uma cópia num ficheiro Postscript. Para optar entre impressão ou gravação em ficheiro, selecciona-se Print Options na janela de diálogo de Config. Após ter preenchido os campos da janela de diálogo de Save, será necessário seleccionar a opção Save do primeiro menú para criar o ficheiro ou imprimir o gráfico.

  Opções gráficas:

  A função `plotdf` admite varias opções, cada uma sendo uma lista de duas ou mais elementos. O primeiro elemento é o nome da opção, e o resto estará formado pelos argumentos para essa opção.

  A função `plotdf` reconhece as seguintes opções:

  - tstep estabelece a amplitude dos incrementos da variável independente t, utilizados para calcular as curvas integrais. Se for dada só uma expressão dydx, a variável x será directamente proporcional a t. O valor por omissão é 0.1.
  - nsteps estabelece o número de passos de comprimento `tstep` que se utilizarão na variável independente para calcular a curva integral. O valor por omissão é 100.
  - direction estabelece a direcção da variável independente que será seguida para calcular uma curva integral. Os valores possí são: `forward`, para fazer que a variável independente aumente `nsteps` vezes, com incrementos `tstep`; `backward`, para fazer que a variável independente diminua; `both`, para estender a curva integral `nsteps` passos para a frente e `nsteps` passos para atrás. As palavras `right` e `left` podem serem usadas como sinónimos de `forward` e `backward`. O valor por omissão é `both`.
  - tinitial estabelece o valor inicial da variável t utilizado para calcular curvas integrais. Já que as equações diferenciais são autónomas, esta opção só aparecerá nos gráficos das curvas em função de t. O valor por omissão é 0.
  - versus_t utiliza-se para criar uma segunda janela gráfica, com o gráfico de uma curva integral, como duas funções x, y, de variável independente t. Se for dado a `versus_t` qualquer valor diferente de 0, mostrar-se-á a segunda janela gráfica, que inclui outro menú, similar ao da janela principal. O valor por omissão é 0.
  - trajectory_at estabelece as coordenadas xinitial e yinitial para o ponto inicial da curva integral. Não tem atribuído nenhum valor por omissão.
  - parameters estabelece uma lista de parâmetros, junto com os seus valores numéricos, que são utilizados na definição da equação diferencial. Os nomes dos parâmetros e os seus valores devem escrever-se em formato de cadeia de caracteres como uma sequência de pares `nome=valor` separados por vírgulas.
  - sliders estabelece uma lista de parâmetros que poderão ser alterados interactivamente usando barras com sliders, assim como os intervalos de variação dos ditos parâmetros. Os nomes dos parâmetros e os seus intervalos devem escrever-se em formato de cadeia de caracteres como uma sequência de pares `nome=min:max` separados por vírgulas.
  - xfun estabelece uma cadeia de caracteres com funções de x separadas por ponto e vírgula para ser representadas por cima do campo de direcções. Essas funções serão interpretadas por Tcl, e não por Maxima.
  - xradius é metade do comprimento do intervalo de valores a representar na direcção x. O valor por omissão é 10.
  - yradius é metade do comprimento do intervalo de valores a representar na direcção y. O valor por omissão é 10.
  - xcenter é a coordenada x do ponto situado no centro do gráfico. O valor por omissão é 0.
  - ycenter é a coordenada y do ponto situado no centro do gráfico. O valor por omissão é 0.
  - width estabelece a largura da janela gráfica em pixels. O valor por omissão é 500.
  - height estabelece a altura da janela gráfica em pixels. O valor por omissão é 500.

  Exemplos:

  NOTA: Em alguns casos, dependendo da interface usada para executar o Maxima, as funções que usam `openmath`, em particular `plotdf`, podem desencadear um bug se terminarem em ponto e vírgula, e não com o símbolo de dólar. Para evitar problemas, usaremos o símbolo de dóla nos exemplos a seguir.

  - Para mostrar o campo de direcções da equação diferencial y' = exp(-x) + y e a solução que passa por (2, -0.1):

        (%i1) load("plotdf")$

        (%i2) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1]);

  - Para mostrar o campo de direcções da equação diff(y,x) = x - y^2 e a solução com condição inicial y(-1) = 3, pode utilizar-se o comando:

        (%i3) plotdf(x-y^2,[xfun,"sqrt(x);-sqrt(x)"],
                  [trajectory_at,-1,3], [direction,forward],
                  [yradius,5],[xcenter,6]);

    O gráfico também mostra a função y = sqrt(x).

  - O exemplo seguinte mostra o campo de direcções de um oscilador harmónico, definido pelas equações dx/dt = y e dy/dt = -k*x/m, e a curva integral que passa por (x,y) = (6,0), com uma barra de slider que permitirá mudar o valor de m interactivamente (k permanecerá fixo em 2):

        (%i4) plotdf([y,-k*x/m],[parameters,"m=2,k=2"],
                    [sliders,"m=1:5"], [trajectory_at,6,0]);

  - Para representar o campo de direcções da equação de Duffing, m*x"+c*x'+k*x+b*x^3 = 0, introduz-se a variável y=x' e faz-se:

        (%i5) plotdf([y,-(k*x + c*y + b*x^3)/m],
                      [parameters,"k=-1,m=1.0,c=0,b=1"],
                      [sliders,"k=-2:2,m=-1:1"],[tstep,0.1]);

  - O campo de direcções dum pêndulo amortecido, incluindo a solução para condições iniciales dadas, com uma barra de slider que pode usar-se para mudar o valor da masa, m, e com o gráfico das duas variáveis de estado em função do tempo:

        (%i6) plotdf([y,-g*sin(x)/l - b*y/m/l],
                 [parameters,"g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05"],
                 [trajectory_at,1.05,-9],[tstep,0.01],
                 [xradius,6],[yradius,14],
                 [xcenter,-4],[direction,forward],[nsteps,300],
                 [sliders,"m=0.1:1"], [versus_t,1]);

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