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# 40. Fluxo de Programa

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## 40.1 Introdução a Fluxo de Programa

Maxima fornece um `do` para ciclos iterativos, também contruções mais primitivas tais como `go`.

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## 40.2 Definições para Fluxo de Programa

Função: backtrace ()
Função: backtrace (n)

  Imprime a pilha de chamadas, que é, a lista de funções que foram chamadas pela função correntemente activa.

  `backtrace()` imprime toda a pilha de chamadas.

  `backtrace (n)` imprime as n mais recentes chamadas a funções, incluindo a função correntemente activa.

  `backtrace` pode ser chamada por um script, uma função, ou a partir da linha de comando interativa (não somente em um contexto de depuração).

  Exemplos:

  - `backtrace()` imprime toda a pilha de chamadas.

        (%i1) h(x) := g(x/7)$
        (%i2) g(x) := f(x-11)$
        (%i3) f(x) := e(x^2)$
        (%i4) e(x) := (backtrace(), 2*x + 13)$
        (%i5) h(10);
        #0: e(x=4489/49)
        #1: f(x=-67/7)
        #2: g(x=10/7)
        #3: h(x=10)
                                      9615
        (%o5)                         ----
                                       49

  - `backtrace (n)` imprime as n mais recentes chamadas a funções, incluindo a função correntemente activa.

        (%i1) h(x) := (backtrace(1), g(x/7))$
        (%i2) g(x) := (backtrace(1), f(x-11))$
        (%i3) f(x) := (backtrace(1), e(x^2))$
        (%i4) e(x) := (backtrace(1), 2*x + 13)$
        (%i5) h(10);
        #0: h(x=10)
        #0: g(x=10/7)
        #0: f(x=-67/7)
        #0: e(x=4489/49)
                                      9615
        (%o5)                         ----
                                       49

Operador especial: do

  A declaração `do` é usada para executar iteração. Devido à sua grande generalidade a declaração `do` será descrita em duas partes. Primeiro a forma usual será dada que é análoga à forma que é usada em muitas outras linguagens de programação (Fortran, Algol, PL/I, etc.); em segundo lugar os outros recursos serão mencionados.

  Existem três variantes do operador especial `do` que diferem somente por suas condições de encerramento. São elas:

  - `for Variável: valor_inicial step incremento thru limite do corpo`
  - `for Variável: valor_inicial step incremento while condition do corpo`
  - `for Variável: valor_inicial step incremento unless condition do corpo`

  (Alternativamente, o `step` pode ser dado após a condição de encerramento ou limite.)

  valor_inicial, incremento, limite, e corpo podem ser quaisquer expressões. Se o incremento for 1 então "`step 1`" pode ser omitido.

  A execução da declaração `do` processa-se primeiro atribuindo o valor_inicial para a variável (daqui em diante chamada a variável de controle). Então: (1) Se a variável de controle excede o limite de uma especificação `thru`, ou se a condição de `unless` for `true`, ou se a condição de `while` for `false` então o `do` será encerrado. (2) O corpo é avaliado. (3) O incremento é adicionado à variável de controle. O processo de (1) a (3) é executado repetidamente até que a condição de encerramento seja satisfeita. Pode-se também dar muitas condições de encerramento e nesse caso o `do` termina quando qualquer delas for satisfeita.

  Em geral o teste `thru` é satisfeito quando a variável de controle for maior que o limite se o incremento for não negativo, ou quando a variável de controle for menor que o limite se o incremento for negativo. O incremento e o limite podem ser expressões não numéricas enquanto essa desigualdade puder ser determinada. Todavia, a menos que o incremento seja sintaticamente negativo (e.g. for um número negativo) na hora em que a declaração `do` for iniciada, Maxima assume que o incremento e o limite serão positivos quando o `do` for executado. Se o limite e o incremento não forem positivos, então o `do` pode não terminar propriamente.

  Note que o limite, incremento, e condição de encerramento são avaliados cada vez que ocorre um ciclo. Dessa forma se qualquer desses for responsável por muitos cálculos, e retornar um resultado que não muda durante todas as execuções do corpo, então é mais eficiente escolher uma variável para seu valor anterior para o `do` e usar essa variável na forma `do`.

  O valor normalmente retornado por uma declaração `do` é o átomo `done`. Todavia, a função `return` pode ser usada dentro do corpo para sair da delcaração `do` prematuramente e dar a isso qualquer valor desejado. Note todavia que um `return` dentro de um `do` que ocorre em um `block` encerrará somente o `do` e não o `block`. Note também que a função `go` não pode ser usada para sair de dentro de um `do` dentro de um `block` que o envolve.

  A variável de controle é sempre local para o `do` e dessa forma qualquer variável pode ser usada sem afectar o valor de uma variável com o mesmo nome fora da declaração `do`. A variável de controle é liberada após o encerramento da declaração `do`.

      (%i1) for a:-3 thru 26 step 7 do display(a)$
                                   a = - 3

                                    a = 4

                                   a = 11

                                   a = 18

                                   a = 25

      (%i1) s: 0$
      (%i2) for i: 1 while i <= 10 do s: s+i;
      (%o2)                         done
      (%i3) s;
      (%o3)                          55

  Note que a condição `while i <= 10` é equivalente a `unless i > 10` e também `thru 10`.

      (%i1) series: 1$
      (%i2) term: exp (sin (x))$
      (%i3) for p: 1 unless p > 7 do
                (term: diff (term, x)/p,
                 series: series + subst (x=0, term)*x^p)$
      (%i4) series;
                        7    6     5    4    2
                       x    x     x    x    x
      (%o4)            -- - --- - -- - -- + -- + x + 1
                       90   240   15   8    2

  que fornece 8 termos da série de Taylor para `e^sin(x)`.

      (%i1) poly: 0$
      (%i2) for i: 1 thru 5 do
                for j: i step -1 thru 1 do
                    poly: poly + i*x^j$
      (%i3) poly;
                        5      4       3       2
      (%o3)          5 x  + 9 x  + 12 x  + 14 x  + 15 x
      (%i4) guess: -3.0$
      (%i5) for i: 1 thru 10 do
                (guess: subst (guess, x, 0.5*(x + 10/x)),
                 if abs (guess^2 - 10) < 0.00005 then return (guess));
      (%o5)                  - 3.162280701754386

  Esse exemplo calcula a raíz quadrada negativa de 10 usando a iteração de Newton- Raphson um maximum de 10 vezes. Caso o critério de convergêcia não tenha sido encontrado o valor retornado pode ser `done`. Em lugar de sempre adicionar uma quantidade à variável de controle pode-se algumas vezes desejar alterar isso de alguma outra forma para cada iteração. Nesse caso pode-se usar `next expressão` em lugar de `step incremento`. Isso fará com que a variável de controle seja escolhida para o resultado da expressão de avaliação cada vez que o ciclo de repetição for executado.

      (%i6) for count: 2 next 3*count thru 20 do display (count)$
                                  count = 2

                                  count = 6

                                 count = 18

  Como uma alternativa para `for Variável: valor ...do...` a sintaxe `for Variável from valor ...do...` pode ser usada. Isso permite o `from valor` ser colocado após o `step` ou proximo valor ou após a condição de encerramento. Se `from valor` for omitido então 1 é usado como o valor inicial.

  Algumas vezes se pode estar interessado em executar uma iteração onde a variável de controle nunca seja usada. Isso é permissível para dar somente as condições de encerramento omitindo a inicialização e a informação de actualização como no exemplo seguinte para para calcular a raíz quadrada de 5 usando uma fraca suposição inicial.

      (%i1) x: 1000$
      (%i2) thru 20 do x: 0.5*(x + 5.0/x)$
      (%i3) x;
      (%o3)                   2.23606797749979
      (%i4) sqrt(5), numer;
      (%o4)                   2.23606797749979

  Se isso for desejado pode-se sempre omitir as condições de encerramento inteiramente e apenas dar o corpo `do corpo` que continuará a ser avaliado indefinidamente. Nesse caso a função `return` será usada para encerrar a execução da declaração `do`.

      (%i1) newton (f, x):= ([y, df, dfx], df: diff (f ('x), 'x),
                do (y: ev(df), x: x - f(x)/y,
                    if abs (f (x)) < 5e-6 then return (x)))$
      (%i2) sqr (x) := x^2 - 5.0$
      (%i3) newton (sqr, 1000);
      (%o3)                   2.236068027062195

  (Note que `return`, quando executado, faz com que o valor corrente de `x` seja retornado como o valor da declaração `do`. O `block` é encerrado e esse valor da declaração `do` é retornado como o valor do `block` porque o `do` é a última declaração do `block`.)

  Uma outra forma de `do` é disponível no Maxima. A sintaxe é:

      for Variável in list end_tests do corpo

  Os elementos de list são quaisquer expressões que irão sucessivamente ser atribuídas para a variável a cada iteração do corpo. O teste opcional end_tests pode ser usado para encerrar a execução da declaração `do`; de outra forma o `do` terminará quando a lista for exaurida ou quando um `return` for executado no corpo. (De facto, a lista pode ser qualquer expressão não atômica, e partes sucessivas são usadas.)

      (%i1)  for f in [log, rho, atan] do ldisp(f(1))$
      (%t1)                                  0
      (%t2)                                rho(1)
                                           %pi
      (%t3)                                 ---
                                            4
      (%i4) ev(%t3,numer);
      (%o4)                             0.78539816

Função: errcatch (expr_1, ..., expr_n)

  Avalia expr_1, ..., expr_n uma por uma e retorna `[expr_n]` (uma lista) se nenhum erro ocorrer. Se um erro ocorrer na avaliação de qualquer argumento, `errcatch` evita que o erro se propague e retorna a lista vazia `[]` sem avaliar quaisquer mais argumentos.

  `errcatch` é útil em ficheiros `batch` onde se suspeita que um erro possa estar ocorrendo o `errcatch` terminará o `batch` se o erro não for detectado.

Função: error (expr_1, ..., expr_n)
Variável de sistema: error

  Avalia e imprime expr_1, ..., expr_n, e então causa um retorno de erro para o nível mais alto do Maxima ou para o mais próximo contendo `errcatch`.

  A variável `error` é escolhida para uma lista descrevendo o erro. O primeiro elemento de `error` é uma sequência de caracteres de formato, que junta todas as sequências de caracteres entre os argumentos expr_1, ..., expr_n, e os elementos restantes são os valores de quaisquer argumentos que não são sequências de caracteres.

  `errormsg()` formata e imprime `error`. Isso efectivamente reimprime a mais recente mensagem de erro.

Função: errormsg ()

  Reimprime a mais recente mensagem de erro. A variável `error` recebe a mensagem, e `errormsg` formata e imprime essa mensagem.

Operador especial: for

  Usado em iterações. Veja `do` para uma descrição das facilidades de iteração do Maxima.

Função: go (tag)

  é usada dentro de um `block` para transferir o controle para a declaração do bloco que for identificada com o argumento para `go`. Para identificar uma declaração, coloque antes dessa declaração um argumento atômico como outra declaração no `block`. Por exemplo:

      block ([x], x:1, loop, x+1, ..., go(loop), ...)

  O argumento para `go` deve ser o nome de um identificardor aparecendo no mesmo `block`. Não se pode usar `go` para transferir para um identificador em um outro `block` que não seja o próprio contendo o `go`.

Operador especial: if

  Representa avaliação condicional. Várias formas de expressões `if` são reconhecidas. `if cond_1 then expr_1 else expr_0` avalia para expr_1 se cond_1 avaliar para `true`, de outra forma a expressão avalia para `expr_0`.

  `if cond_1 then expr_1 elseif cond_2 then expr_2 elseif ... else expr_0` avalia para expr_k se cond_k for `true` e todas as condições precedentes forem `false`. Se nenhuma das condições forem `true`, a expressão avalia para `expr_0`.

  O comportamento `else false` é assumido se `else` for omitido. Isso é, `if cond_1 then expr_1` é equivalente a `if cond_1 then expr_1 else false`, e `if cond_1 then expr_1 elseif ... elseif cond_n then expr_n` é equivalente a `if cond_1 then expr_1 elseif ... elseif cond_n then expr_n else false`.

  As alternativas expr_0, ..., expr_n podem ser quaisquer expressões do Maxima, incluíndo expressões `if` aninhadas ( if dentro de if). As alternativas não são nem simplificadas nem avaliadas a menos que a correspondente condição seja `true`.

  As condições cond_1, ..., cond_n são expressões tais que `is(cond_k)` avaliem para `true` ou para `false`; de outra forma é um erro. Entre outros elementos, condições podem compreender operadores lógicos e relacionais como segue.

      Operação             Símbolo      Tipo

      menor que            <           infixo relacional
      menor que            <=
        ou igual a                     infixo relacional
      igualdade            =
        (sintática)                    infixo relacional
      negação de =         #           infixo relacional
      igualdade (valor)    equal       função relacional
      negação de           notequal
        igualdade                      função relacional
      maior que            >=
        ou igual a                     infixo relacional
      maior que            >           infixo relacional
      e                    and         infixo lógico
      ou                   or          infixo lógico
      não                  not         prefixo lógico

Função: map (f, expr_1, ..., expr_n)

  Retorna uma expressão cujo operador principal é o mesmo que o das expressões expr_1, ..., expr_n mas cujas subpartes são os resultados da aplicação de f nas correspondentes subpartes das expressões. f é ainda o nome de uma função de n argumentos ou é uma forma `lambda` de n argumentos.

  `maperror` - se `false` fará com que todas as funções mapeadas (1) parem quando elas terminarem retornando a menor expi se não forem todas as expi do mesmo comprimento e (2) aplique fn a [exp1, exp2,...] se expi não forem todas do mesmo tipo de objecto. Se `maperror` for `true` então uma mensagem de erro será dada nas duas instâncias acima.

  Um dos usos dessa função é para mapear (`map`) uma função (e.g. `partfrac`) sobre cada termo de uma expressão muito larga onde isso comumente não poderia ser possível usar a função sobre a expressão inteira devido a uma exaustão de espaço da lista de armazenamento no decorrer da computação.

      (%i1) map(f,x+a*y+b*z);
      (%o1)                        f(b z) + f(a y) + f(x)
      (%i2) map(lambda([u],partfrac(u,x)),x+1/(x^3+4*x^2+5*x+2));
                                 1       1        1
      (%o2)                     ----- - ----- + -------- + x
                               x + 2   x + 1          2
                                               (x + 1)
      (%i3) map(ratsimp, x/(x^2+x)+(y^2+y)/y);
                                            1
      (%o3)                            y + ----- + 1
                                          x + 1
      (%i4) map("=",[a,b],[-0.5,3]);
      (%o4)                          [a = - 0.5, b = 3]

Função: mapatom (expr)

  Retorna `true` se e somente se expr for tratada pelas rotinas de mapeamento como um átomo. "Mapatoms" são átomos, números (incluíndo números racioanais), e variáveis subscritas.

Variável de opção: maperror

  Valor por omissão: `true`

  Quando `maperror` é `false`, faz com que todas as funções mapeadas, por exemplo

      map (f, expr_1, expr_2, ...))

  (1) parem quando elas terminarem retornando a menor expi se não forem todas as expi do mesmo comprimento e (2) aplique `f` a `[expr_1, expr_2, ...]` se `expr_i` não forem todas do mesmo tipo de objecto.

  Se `maperror` for `true` então uma ,mensagem de erro é mostrada nas duas instâncias acima.

Função: maplist (f, expr_1, ..., expr_n)

  Retorna uma lista de aplicações de f em todas as partes das expressões expr_1, ..., expr_n. f é o nome de uma função, ou uma expressão lambda.

  `maplist` difere de `map (f, expr_1, ..., expr_n)` que retorna uma expressão com o mesmo operador principal que expr_i tem (excepto para simplificações e o caso onde `map` faz um `apply`).

Variável de opção: prederror

  Valor por omissão: `true`

  Quando `prederror` for `true`, uma mensagem de erro é mostrada sempre que o predicado de uma declaração `if` ou uma função `is` falha em avaliar ou para `true` ou para `false`.

  Se `false`, `unknown` é retornado no lugar nesse caso. O modo `prederror: false` não é suportado no código traduzido; todavia, `maybe` é suportado no código traduzido.

  Veja também `is` e `maybe`.

Função: return (valor)

  Pode ser usada para sair explicitamente de um bloco, levando seu argumento. Veja `block` para mais informação.

Função: scanmap (f, expr)
Função: scanmap (f, expr, bottomup)

  Recursivamente aplica f a expr, de cima para baixo. Isso é muito útil quando uma factoração completa é desejada, por exemplo:

      (%i1) exp:(a^2+2*a+1)*y + x^2$
      (%i2) scanmap(factor,exp);
                                          2      2
      (%o2)                         (a + 1)  y + x

  Note o caminho através do qual `scanmap` aplica a dada função `factor` para as subexpressões constituintes de expr; se outra forma de expr é apresentada para `scanmap` então o resultado pode ser diferente. Dessa forma, `%o2` não é recuperada quando `scanmap` é aplicada para a forma expandida de exp:

      (%i3) scanmap(factor,expand(exp));
                                 2                  2
      (%o3)                      a  y + 2 a y + y + x

  Aqui está um outro exemplo do caminho no qual `scanmap` aplica recursivamente uma função dada para todas as subexpressões, incluindo expoentes:

      (%i4) expr : u*v^(a*x+b) + c$
      (%i5) scanmap('f, expr);
                          f(f(f(a) f(x)) + f(b))
      (%o5) f(f(f(u) f(f(v)                      )) + f(c))

  `scanmap (f, expr, bottomup)` aplica f a expr de baixo para cima. E.g., para `f` indefinida,

      scanmap(f,a*x+b) ->
         f(a*x+b) -> f(f(a*x)+f(b)) -> f(f(f(a)*f(x))+f(b))
      scanmap(f,a*x+b,bottomup) -> f(a)*f(x)+f(b)
          -> f(f(a)*f(x))+f(b) ->
           f(f(f(a)*f(x))+f(b))

  Neste caso, obtém-se a mesma resposta pelos dois métodos.

Função: throw (expr)

  Avalia expr e descarta o valor retornado para o mais recente `catch`. `throw` é usada com `catch` como um mecanismo de retorno não local.

Operador especial: while

  Veja `do`.

Função: outermap (f, a_1, ..., a_n)

  Aplica a função f para cada um dos elementos do produto externo a_1 vezes a_2 ... vezes a_n.

  f é o nome de uma função de n argumentos ou uma expressão lambda de n argumentos. Cada argumento a_k pode ser uma lista simples ou lista aninhada ( lista contendo listas como elementos ), ou uma matrz, ou qualquer outro tip de expressão.

  O valor de retorno de `outermap` é uma estrutura aninhada. Tomemos x como sendo o valor de retorno. Então x tem a mesma estrutura da primeira lista, lista aninhada, ou argumento matriz, `x[i_1]...[i_m]` tem a mesma estrutura que a segunda lista, lista aninhada, ou argumento matriz, `x[i_1]...[i_m][j_1]...[j_n]` tem a mesma estrutura que a terceira lista, lista aninhada, ou argumento matriz, e assim por diante, onde m, n, ... são os números dos índices requeridos para acessar os elementos de cada argumento (um para uma lista, dois para uma matriz, um ou mais para uma lista aninhada). Argumentos que não forem listas ou matrizes não afectam a estrutura do valor de retorno.

  Note que o efeito de `outermap` é diferente daquele de aplicar f a cada um dos elementos do produto externo retornado por `cartesian_product`. `outermap` preserva a estrutura dos argumentos no valor de retorno, enquanto `cartesian_product` não reserva essa mesma estrutura.

  `outermap` avalia seus argumentos.

  Veja também `map`, `maplist`, e `apply`.

  Exemplos: Exemplos elementares de `outermap`. Para mostrar a a combinação de argumentos mais claramente, `F` está indefinida à esquerda.

      (%i1) outermap (F, [a, b, c], [1, 2, 3]);
      (%o1) [[F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3)], [F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3)],
                                           [F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)]]
      (%i2) outermap (F, matrix ([a, b], [c, d]), matrix ([1, 2], [3, 4]));
               [ [ F(a, 1)  F(a, 2) ]  [ F(b, 1)  F(b, 2) ] ]
               [ [                  ]  [                  ] ]
               [ [ F(a, 3)  F(a, 4) ]  [ F(b, 3)  F(b, 4) ] ]
      (%o2)    [                                            ]
               [ [ F(c, 1)  F(c, 2) ]  [ F(d, 1)  F(d, 2) ] ]
               [ [                  ]  [                  ] ]
               [ [ F(c, 3)  F(c, 4) ]  [ F(d, 3)  F(d, 4) ] ]
      (%i3) outermap (F, [a, b], x, matrix ([1, 2], [3, 4]));
             [ F(a, x, 1)  F(a, x, 2) ]  [ F(b, x, 1)  F(b, x, 2) ]
      (%o3) [[                        ], [                        ]]
             [ F(a, x, 3)  F(a, x, 4) ]  [ F(b, x, 3)  F(b, x, 4) ]
      (%i4) outermap (F, [a, b], matrix ([1, 2]), matrix ([x], [y]));
             [ [ F(a, 1, x) ]  [ F(a, 2, x) ] ]
      (%o4) [[ [            ]  [            ] ],
             [ [ F(a, 1, y) ]  [ F(a, 2, y) ] ]
                                    [ [ F(b, 1, x) ]  [ F(b, 2, x) ] ]
                                    [ [            ]  [            ] ]]
                                    [ [ F(b, 1, y) ]  [ F(b, 2, y) ] ]
      (%i5) outermap ("+", [a, b, c], [1, 2, 3]);
      (%o5) [[a + 1, a + 2, a + 3], [b + 1, b + 2, b + 3],
                                                 [c + 1, c + 2, c + 3]]

  Uma explanação final do valor de retorno de `outermap`. Os argumentos primeiro, segundo, e terceiro são matriz, lista, e matriz, respectivamente. O valor de retorno é uma matriz. Cada elementos daquela matriz é uma lista, e cada elemento de cada lista é uma matriz.

      (%i1) arg_1 :  matrix ([a, b], [c, d]);
                                  [ a  b ]
      (%o1)                       [      ]
                                  [ c  d ]
      (%i2) arg_2 : [11, 22];
      (%o2)                       [11, 22]
      (%i3) arg_3 : matrix ([xx, yy]);
      (%o3)                      [ xx  yy ]
      (%i4) xx_0 : outermap (lambda ([x, y, z], x / y + z), arg_1, arg_2, arg_3);
                     [  [      a        a  ]  [      a        a  ]  ]
                     [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                     [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
      (%o4)  Col 1 = [                                              ]
                     [  [      c        c  ]  [      c        c  ]  ]
                     [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                     [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
                       [  [      b        b  ]  [      b        b  ]  ]
                       [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                       [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
               Col 2 = [                                              ]
                       [  [      d        d  ]  [      d        d  ]  ]
                       [ [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]] ]
                       [  [      11       11 ]  [      22       22 ]  ]
      (%i5) xx_1 : xx_0 [1][1];
                 [      a        a  ]  [      a        a  ]
      (%o5)     [[ xx + --  yy + -- ], [ xx + --  yy + -- ]]
                 [      11       11 ]  [      22       22 ]
      (%i6) xx_2 : xx_0 [1][1] [1];
                            [      a        a  ]
      (%o6)                 [ xx + --  yy + -- ]
                            [      11       11 ]
      (%i7) xx_3 : xx_0 [1][1] [1] [1][1];
                                        a
      (%o7)                        xx + --
                                        11
      (%i8) [op (arg_1), op (arg_2), op (arg_3)];
      (%o8)                  [matrix, [, matrix]
      (%i9) [op (xx_0), op (xx_1), op (xx_2)];
      (%o9)                  [matrix, [, matrix]

  `outermap` preserves the structure of the arguments in the return value, while `cartesian_product` does not.

      (%i1) outermap (F, [a, b, c], [1, 2, 3]);
      (%o1) [[F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3)], [F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3)],
                                           [F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)]]
      (%i2) setify (flatten (%));
      (%o2) {F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3), F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3),
                                             F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)}
      (%i3) map (lambda ([L], apply (F, L)), cartesian_product ({a, b, c}, {1, 2, 3}));
      (%o3) {F(a, 1), F(a, 2), F(a, 3), F(b, 1), F(b, 2), F(b, 3),
                                             F(c, 1), F(c, 2), F(c, 3)}
      (%i4) is (equal (%, %th (2)));
      (%o4)                         true

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