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# 32. Simetrias

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## 32.1 Definições para Simetrias

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### 32.1.1 Mudando a base do sistema de numeração

Função: comp2pui (n, L)

  implementa a passagem das funções simétricas completamente simétricas fornecidas na lista L para as funções simétricas elementares de 0 a n. Se a lista L contiver menos que n+1 elementos, será completada com valores formais do tipo h1, h2, etc. Se o primeiro elemento da lista L existir, ele é interpretado como sendo o tamanho do alfabeto, de outra forma o tamanho é escolhido para n.

      (%i1) comp2pui (3, [4, g]);
                              2                    2
      (%o1)    [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g  - 2 h2)]

Função: ele2pui (m, L)

  vai de funções simétricas elementares para as funções completas. Similar a `comp2ele` e `comp2pui`.

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Função: ele2comp (m, L)

  Vai de funções simétricas elementares para funções completas. Similar a `comp2ele` e a `comp2pui`.

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Função: elem (ele, sym, lvar)

  ddecompões o polinómio simétrico sym, nas variáveis contidas na lista lvar, em termos de funções elementares simétricas fornecidas na lista ele. Se o primeiro elemento de ele for fornecido, esse primeiro elemento será o tamanho do alfabeto, de outra forma o tamanho será o grau do polinómio sym. Se valores forem omitidos na lista ele, valores formais do tipo e1, e2, etc. serão adicionados. O polinómio sym pode ser fornecido de três diferentes formas: contraída (`elem` pode então ser 1, seu valor padrão), particionada (`elem` pode ser 3), ou extendida (i.e. o polinómio completo, e `elem` pode então ser 2). A função `pui` é usada então da mesma forma.

  sobre um alfabeto de tamanho 3 com e1, a primeira funçào elementar simétrica, com valor 7, o polinómio simétrico em 3 variáveis cuja forma contraída (que aqui depende de duas de suas variáveis) é x^4-2*x*y decomposto como segue em funções elementares simétricas:

      (%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
      (%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3

                                               + (- 2 (49 - e2) - 2) e2
      (%i2) ratsimp (%);
                                    2
      (%o2)             28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Function: mon2schur (L)

  a lsita L representa a função de Schur S_L: temos L = [i_1, i_2, ..., i_q], com i_1 <= i_2 <= ... <= i_q. A funçõ de Schur S_[i_1, i_2, ..., i_q] é a menor da matriz infinita h_[i-j], i <= 1, j <= 1, consistindo das q primeiras linhas e as colunas 1 + i_1, 2 + i_2, ..., q + i_q.

  Essa função de Schur pode ser escrita em termos de monômios usando `treinat` e `kostka`. A forma retornada é um polinómio simétrico na representação contraída nas variáveis x_1,x_2,\ldots.

      (%i1) mon2schur ([1, 1, 1]);
      (%o1)                       x1 x2 x3
      (%i2) mon2schur ([3]);
                                        2        3
      (%o2)                x1 x2 x3 + x1  x2 + x1
      (%i3) mon2schur ([1, 2]);
                                            2
      (%o3)                  2 x1 x2 x3 + x1  x2

  o qual significa que para 3 variáveis fornece:

         2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
          + x2^2 x3 + x3^2 x2

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Função: multi_elem (l_elem, multi_pc, l_var)

  decompões um polinómio multi-simétrico na forma multi-contraída multi_pc nos grupos de variáveis contidas na lista de listas l_var en termos de funções elementares simétricas contidas em l_elem.

      (%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
                                                        3
      (%o1)         - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1
      (%i2) ratsimp (%);
                               2                       3
      (%o2)         - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Função: multi_pui

  é para a função `pui` o que a função `multi_elem` é para a função `elem`.

      (%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
                                                  3
                                      3 p1 p2   p1
      (%o1)              t2 + p1 t1 + ------- - ---
                                         2       2

Função: pui (L, sym, lvar)

  decompõe o polinómio simétrico sym, nas variáveis na lista lvar, em termos de funções exponenciais na lista L. Se o primeiro elemento de L for fornecido, esse primeiro elemento será o tamanho do alfabeto, de outra forma o tamanho será o grau do polinómio sym. Se valores forem omitidos na lista L, valores formais do tipo p1, p2 , etc. serão adicionados. O polinómio sym pode ser fornecido de três diferentes formas: contraída (`elem` pode então ser 1, seu valor padrão), particionada (`elem` pode ser 3), ou extendida (i.e. o polinómio completo, e `elem` pode então ser 2). A função `pui` é usada da mesma forma.

      (%i1) pui;
      (%o1)                           1
      (%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
                             2
                         a (a  - b) u   (a b - p3) u
      (%o2)              ------------ - ------------
                              6              3
      (%i3) ratsimp (%);
                                             3
                            (2 p3 - 3 a b + a ) u
      (%o3)                 ---------------------
                                      6

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Função: pui2comp (n, lpui)

  converte a dista das primeiras n funções completas (com o comprimento em primeiro lugar) em termos de funções exponenciais fornecidas na lista lpui. se a lista lpui for vazia, o cardinal é n, de outra forma o cardinal será seu primeiro elemento (como em `comp2ele` e em `comp2pui`).

      (%i1) pui2comp (2, []);
                                             2
                                      p2 + p1
      (%o1)                   [2, p1, --------]
                                         2
      (%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
                                                  2
                                       a1 (p2 + a1 )
                               2  p3 + ------------- + a1 p2
                        p2 + a1              2
      (%o2)     [2, a1, --------, --------------------------]
                           2                  3
      (%i3) ratsimp (%);
                                  2                     3
                           p2 + a1   2 p3 + 3 a1 p2 + a1
      (%o3)        [2, a1, --------, --------------------]
                              2               6

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Função: pui2ele (n, lpui)

  efectiva a passagem de funções exponenciais para as funções elementares simétricas. Se o sinalizador `pui2ele` for `girard`, `pui2ele` irá retornar a lista de funções elementares simétricas de 1 a n, e se o sinalizador for `close`, `pui2ele` retornará a n-ésima função simétrica elementar.

  Outras funções para mudanças de base: `comp2ele`.

Função: puireduc (n, lpui)

  lpui é uma lista cujo primeiro elemento é um inteiro m. `puireduc` fornece as primeiras n funções exponenciais em termos das primeiras m funções.

      (%i1) puireduc (3, [2]);
                                               2
                                         p1 (p1  - p2)
      (%o1)          [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
                                               2
      (%i2) ratsimp (%);
                                                 3
                                     3 p1 p2 - p1
      (%o2)              [2, p1, p2, -------------]
                                           2

Função: schur2comp (P, l_var)

  P é um polinómio nas variáveis da lista l_var. Cada uma dessas variáveis represetna uma função simétrica completa. Na lista l_var o i-ésima função simétrica completa é representada através da concatenação da letra `h` com o inteiro i: `hi`. Essa função expressa P em termos de funções de Schur.

      (%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
      (%o1)                         s
                                     1, 2
      (%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
      (%o2)                         s  a
                                     3

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### 32.1.2 Modificando represetnações

Função: cont2part (pc, lvar)

  Retorna o polinómio particionado associado à forma contraída pc cujas variáveis estão em lvar.

      (%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
                                 3    4      5
      (%o1)                   2 a  b x  y + x
      (%i2) cont2part (pc, [x, y]);
                                         3
      (%o2)              [[1, 5, 0], [2 a  b, 4, 1]]

Função: contract (psym, lvar)

  retorna uma forma contraída (i.e. um monômio de grupo ssimétrico) do polinómio psym nas variáveis contidas na lista lvar. A função `explose` executa a operação inversa. A função `tcontract` testa a simétria do polinómio.

      (%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
               3      4      3      4      3    4        3    4
      (%o1) 2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z + 2 a  b x  z

                                                 3      4      3    4
                                            + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y
      (%i2) contract (psym, [x, y, z]);
                                    3    4
      (%o2)                      2 a  b x  y

Função: explose (pc, lvar)

  retorna o polinómio simétrico associado com a forma contraída pc. A lista lvar conté as variáveis.

      (%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]);
      (%o1)                  a z + a y + a x + 1

Função: part2cont (ppart, lvar)

  vai da forma particionada para a forma contraída de um polinómio simétrico. A forma contraída é convertida com as variáveis em lvar.

      (%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
                                    3    4
      (%o1)                      2 a  b x  y

Função: partpol (psym, lvar)

  psym é um polinómio simétrico nas variáveis da lista lvar. Essa função retorna sua represetnação particionada.

      (%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
      (%o1)               [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]

Função: tcontract (pol, lvar)

  testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis da lista lvar. Se for, `tcontract` retorna uma representação contraída como o faz a função `contract`.

Função: tpartpol (pol, lvar)

  testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis da lista lvar. Se for, `tpartpol` retorna sua represetnação particionada como o faz a função `partpol`.

Função: direct ([p_1, ..., p_n], y, f, [lvar_1, ..., lvar_n])

  calcula a imagem directa (see M. Giusti, D. Lazard et A. Valibouze, ISSAC 1988, Rome) associada à função f, na lista de variáveis lvar_1, ..., lvar_n, e nos polinómios p_1, ..., p_n na variável y. A quantidade de argumetnos que a funçào f pode receber é importante para o cálculo. Dessa forma, se a expressão para f não depende de alguma variável, é inútil incluir essa variável, e não incluir essa variável irá também reduzir consideravelmente o montante cálculos efetuados.

      (%i1) direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
                    z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
             2
      (%o1) y  - e1 f1 y

                                       2            2             2   2
                        - 4 e2 f2 - (e1  - 2 e2) (f1  - 2 f2) + e1  f1
                      + -----------------------------------------------
                                               2
      (%i2) ratsimp (%);
                    2                2                   2
      (%o2)        y  - e1 f1 y + (e1  - 4 e2) f2 + e2 f1
      (%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
                    z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
             6            5         2                        2    2   4
      (%o3) y  - 2 e1 f1 y  + ((2 e1  - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y

                                3                               3   3
       + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y

               2       2        4    2
       + ((9 e2  - 6 e1  e2 + e1 ) f2

                          2       2       2                   2    4
       + (- 9 e1 e3 - 6 e2  + 3 e1  e2) f1  f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )

        2          2                      2     3          2
       y  + (((9 e1  - 27 e2) e3 + 3 e1 e2  - e1  e2) f1 f2

                       2            2    3                5
       + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1  f2 - 2 e2 e3 f1 ) y

                 2                   3           3     2   2    3
       + (- 27 e3  + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2  + e1  e2 ) f2

               2      3                   3    2   2
       + (27 e3  + (e1  - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1  f2

                         2    4        2   6
       + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1  f2 + e3  f1

  Encontrando um polinómio cujas raízes são somatórios a+u onde a é uma raíz de z^2 - e_1 z + e_2 e u é uma raíz de z^2 - +f_1 z + f_2.

      (%i1) ratsimp (direct ([z^2 - e1* z + e2, z^2 - f1* z + f2],
                                z, a + u, [[u], [a]]));
             4                    3             2
      (%o1) y  + (- 2 f1 - 2 e1) y  + (2 f2 + f1  + 3 e1 f1 + 2 e2

           2   2                              2               2
       + e1 ) y  + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1  + (- 2 e2 - e1 ) f1

                        2                     2            2
       - 2 e1 e2) y + f2  + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1  + e1 e2 f1

           2
       + e2

  `direct` aceita dois sinalizadores: `elementaires` (elementares) e `puissances` (exponenciais - valor padrão) que permitem a decomposição de polinómios simétricos que aparecerem nesses cálculos em funções simétricas elementares ou em funções exponenciais respectivamente.

  Funções de `sym` utilizadas nesta função :

  `multi_orbit` (portanto `orbit`), `pui_direct`, `multi_elem` (portanto `elem`), `multi_pui` (portanto `pui`), `pui2ele`, `ele2pui` (se o sinalizador `direct` for escolhido para `puissances`).

Função: multi_orbit (P, [lvar_1, lvar_2,..., lvar_p])

  P é um polinómio no conjunto de variáveis contidas nas lista lvar_1, lvar_2, ..., lvar_p. Essa função retorna a órbita do polinómio P sob a ação do produto dos grupos simétricos dos conjuntos de variáveis represetnadas nas p listas.

      (%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
      (%o1)                [b y + a x, a y + b x]
      (%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
      (%o2)        [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]

  Veja também: `orbit` para a ação de um grupo simétrico simples.

Função: multsym (ppart_1, ppart_2, n)

  retorna oproduto de dois polinómios simétricos em n varieis trabalhando somente módulo a ação do grupo simétrico de ordem n. O polinómios estão em sua forma particionada.

  Dados 2 polinómio simétricos em x, y: `3*(x + y) + 2*x*y` e `5*(x^2 + y^2)` cujas formas particionadas são `[[3, 1], [2, 1, 1]]` e `[[5, 2]]`, seu produto irá ser

      (%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
      (%o1)         [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]

  isso é `10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3)`.

  Funções para mudar as representacões de um polinómio simétrico:

  `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol`, `tcontract`, `tpartpol`.

Função: orbit (P, lvar)

  calcula a órbita do polinómio P nas variáveis na lista lvar sob a ação do grupo simétrico do conjunto das variáveis na lista lvar.

      (%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]);
      (%o1)                [a y + b x, b y + a x]
      (%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
                              2         2
      (%o2)                 [y  + 2 y, x  + 2 x]

  Veja também `multi_orbit` para a ação de um produto de grupos simétricos sobre um polinómio.

Função: pui_direct (orbite, [lvar_1, ..., lvar_n], [d_1, d_2, ..., d_n])

  Tomemos f para ser um polinómio em n blocos de variáveis lvar_1, ..., lvar_n. Façamos c_i ser o n;umero de variáveis em lvar_i, e SC ser o produto de n grupos simétricos de grau c_1, ..., c_n. Essas ações dos grupos naturalmente sobre f. A lista orbite é a órbita, denotada `SC(f)`, da função f sob a ação de SC. (Essa lista pode ser obtida através da função `multi_orbit`.) Os di são inteiros de forma que c_1 \le d_1, c_2 \le d_2, \ldots, c_n \le d_n.

  Tomemos SD para ser o produto dos grupos simétricos S_[d_1] x S_[d_2] x ... x S_[d_n]. A função `pui_direct` retorna as primeiras n funções exponenciais de `SD(f)` deduzidas das funções exponenciais de `SC(f)`, onde n é o tamanho de `SD(f)`.

  O resultado está na multi-forma contraída com relação a SD, i.e. somente um elemento é mantido por órbita, sob a ação de SD.

      (%i1) l: [[x, y], [a, b]];
      (%o1)                   [[x, y], [a, b]]
      (%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
                                             2  2
      (%o2)               [a x, 4 a b x y + a  x ]
      (%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
                                   2  2     2    2        3  3
      (%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a  x , 3 a  b x  y + 2 a  x ,

          2  2  2  2      3    3        4  4
      12 a  b  x  y  + 4 a  b x  y + 2 a  x ,

          3  2  3  2      4    4        5  5
      10 a  b  x  y  + 5 a  b x  y + 2 a  x ,

          3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
      40 a  b  x  y  + 15 a  b  x  y  + 6 a  b x  y + 2 a  x ]
      (%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
                                   2              2
      (%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a ,

                       2                   3        2       2        3
                    9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]

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### 32.1.3 Partições

Função: kostka (part_1, part_2)

  escrita por P. Esperet, calcula o número de Kostka da partição part_1 e part_2.

      (%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
      (%o1)                           6

Função: lgtreillis (n, m)

  retorna a lista de partições de peso n e comprimento m.

      (%i1) lgtreillis (4, 2);
      (%o1)                   [[3, 1], [2, 2]]

  Veja também: `ltreillis`, `treillis` e `treinat`.

Função: ltreillis (n, m)

  retorna a lista de partições de peso n e comprimento menor que ou igual a m.

      (%i1) ltreillis (4, 2);
      (%o1)               [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]

  Veja também: `lgtreillis`, `treillis` e `treinat`.

Função: treillis (n)

  retorna todas as partições de peso n.

      (%i1) treillis (4);
      (%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

  Veja também: `lgtreillis`, `ltreillis` e `treinat`.

Função: treinat (part)

  retorna a lista de partições inferiores à partiçào part com relação à ordem natural.

      (%i1) treinat ([5]);
      (%o1)                         [[5]]
      (%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
      (%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1],

                                                       [1, 1, 1, 1, 1]]
      (%i3) treinat ([3, 2]);
      (%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]

  Outras funções de mudança de representação :

  Veja também: `lgtreillis`, `ltreillis` e `treillis`.

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### 32.1.4 Polinómios e suas raízes

Função: ele2polynome (L, z)

  retorna o polinómio em z de forma que as funções elementares simétricas de suas raízes estejam na lista `L = [n, e_1, ..., e_n]`, onde n é o grau dos polinómios e e_i é a i-ésima função simétrica elementar.

      (%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
                                2
      (%o1)                    z  - e1 z + e2
      (%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
      (%o2)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
      (%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                        7       5       3
      (%o3)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

  o inverso: `polynome2ele (P, z)`.

  Veja também: `polynome2ele`, `pui2polynome`.

Função: polynome2ele (P, x)

  fornece a lista `l = [n, e_1, ..., e_n]` onde n é o grau do polinómio P na variável x e e_i é a i-ésima função simétrica elementar das raízes de P.

      (%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
      (%o1)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
      (%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                        7       5       3
      (%o2)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22

  A inversa: `ele2polynome (l, x)`

Função: prodrac (L, k)

  L é uma lista contendo as funções simétricas elementares sobre um conjunto A. `prodrac` retorna o polinómio cujas raízes são os produtos k por k dos elementos de A.

  Veja também `somrac`.

Função: pui2polynome (x, lpui)

  calcula o polinómio em x cujas funções exponenciais das raízes são dadas na lista lpui.

      (%i1) pui;
      (%o1)                           1
      (%i2) kill(labels);
      (%o0)                         done
      (%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
      (%o1)                     [3, 4, 5, 1]
      (%i2) ele2pui (3, %);
      (%o2)                     [3, 4, 6, 7]
      (%i3) pui2polynome (x, %);
                              3      2
      (%o3)                  x  - 4 x  + 5 x - 1

  Veja também: `polynome2ele`, `ele2polynome`.

Função: somrac (L, k)

  A lista L contains função simétrica elementars de um polynomial P . The function computes the polinómio whose roots are the k by k distinct sums of the roots of P.

  Also see `prodrac`.

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### 32.1.5 Resolvents

Função: resolvante (P, x, f, [x_1,..., x_d])

  calculates the resolvent of the polinómio P in x of degree n >= d by the function f expressed nas variáveis x_1, ..., x_d. For efficiency of computation it is important to not include in the list `[x_1, ..., x_d]` variables which do not appear in the transformation function f.

  Para melhorar a eficiência do cálculo se pode escolher sinalizadores em `resolvante` de fora a usar os algoritmos apropriados:

  Se a função f for unitária :

  - um polinómio em uma variável simples,
  - linear ,
  - alternado,
  - um somatório,
  - simétrico,
  - um produto,
  - a função da resolvente de Cayley (utilisável de grau 5 em diante)

        (x1*x2 + x2*x3 + x3*x4 + x4*x5 + x5*x1 -
             (x1*x3 + x3*x5 + x5*x2 + x2*x4 + x4*x1))^2

    geral,

  o sinalizador da `resolvante` poderá ser respectivamente :

  - unitaire,
  - lineaire,
  - alternee,
  - somme,
  - produit,
  - cayley,
  - generale.

      (%i1) resolvante: unitaire$
      (%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1, [x]);

      " resolvante unitaire " [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840, - 2772, 56448, - 33880,

      413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464,

      175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760]
        3       6      3       9      6      3
      [x  - 1, x  - 2 x  + 1, x  - 3 x  + 3 x  - 1,

       12      9      6      3       15      12       9       6      3
      x   - 4 x  + 6 x  - 4 x  + 1, x   - 5 x   + 10 x  - 10 x  + 5 x

             18      15       12       9       6      3
       - 1, x   - 6 x   + 15 x   - 20 x  + 15 x  - 6 x  + 1,

       21      18       15       12       9       6      3
      x   - 7 x   + 21 x   - 35 x   + 35 x  - 21 x  + 7 x  - 1]
      [- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011]
             7      6        5         4          3           2
      (%o2) y  + 7 y  - 539 y  - 1841 y  + 51443 y  + 315133 y

                                                    + 376999 y + 125253
      (%i3) resolvante: lineaire$
      (%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante lineaire "
             24       20         16            12             8
      (%o4) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i5) resolvante: general$
      (%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante generale "
             24       20         16            12             8
      (%o6) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);

      " resolvante generale "
             24       20         16            12             8
      (%o7) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
             24       20         16            12             8
      (%o8) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                          4
                                             + 344489984 y  + 655360000
      (%i9) resolvante :lineaire$
      (%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante lineaire "
                                    4
      (%o10)                       y  - 1
      (%i11) resolvante: symetrique$
      (%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante symetrique "
                                    4
      (%o12)                       y  - 1
      (%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

      " resolvante symetrique "
                                 6      2
      (%o13)                    y  - 4 y  - 1
      (%i14) resolvante: alternee$
      (%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

      " resolvante alternee "
                  12      8       6        4        2
      (%o15)     y   + 8 y  + 26 y  - 112 y  + 216 y  + 229
      (%i16) resolvante: produit$
      (%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante produit "
              35      33         29        28         27        26
      (%o17) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

               24           23          22            21           20
       + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

                19           18             17              15
       - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

                   14              12             11            10
       - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

                    9            8            7             6
       - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

                  5             3
       - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
      (%i18) resolvante: symetrique$
      (%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

      " resolvante symetrique "
              35      33         29        28         27        26
      (%o19) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

               24           23          22            21           20
       + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

                19           18             17              15
       - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

                   14              12             11            10
       - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

                    9            8            7             6
       - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

                  5             3
       - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
      (%i20) resolvante: cayley$
      (%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);

      " resolvente de Cayley "
              6       5         4          3            2
      (%o21) x  - 40 x  + 4080 x  - 92928 x  + 3772160 x  + 37880832 x

                                                             + 93392896

  Para a resolvente de Cayley, os 2 últimos argumentos são neutros e o polinómio fornecido na entrada deve ser necessáriamente de grau 5.

  Veja também :

  `resolvante_bipartite`, `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Função: resolvante_alternee1 (P, x)

  calcula a transformação de `P(x)` de grau n pela função $\prod_{1\leq i<j\leq n-1} (x_i-x_j)$. product(x_i - x_j, 1 <= i < j <= n - 1).

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante` , `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`, `resolvante_bipartite`.

Função: resolvante_bipartite (P, x)

  calcula a trasformação de `P(x)` de mesmo grau n através da função x_1 x_2 ... x_[n/2] + x_[n/2 + 1] ... x_n.

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante` , `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`, `resolvante_alternee1`.

      (%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
                    10        8           6             4
      (%o1)        y   - 972 y  + 314928 y  - 34012224 y

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`, `resolvante_alternee1`.

Função: resolvante_diedrale (P, x)

  +calculates the transformation of `P(x)` by the function +`x_1 x_2 + x_3 x_4`.

      (%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
             15       12       11       10        9         8         7
      (%o1) x   - 21 x   - 81 x   - 21 x   + 207 x  + 1134 x  + 2331 x

              6         5          4          3          2
       - 945 x  - 4970 x  - 18333 x  - 29079 x  - 20745 x  - 25326 x

       - 697

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante`.

Função: resolvante_klein (P, x)

  +calculates the transformation of `P(x)` by the function +`x_1 x_2 x_4 + x_4`.

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Função: resolvante_klein3 (P, x)

  calcula a transformação de `P(x)` através da função `x_1 x_2 x_4 + x_4`.

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Função: resolvante_produit_sym (P, x)

  calcula a lista de todas as resolventes de produto do polinómio `P(x)`.

      (%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
              5      4             10      8       7       6       5
      (%o1) [y  + 3 y  + 2 y - 1, y   - 2 y  - 21 y  - 31 y  - 14 y

          4       3      2       10      8       7    6       5       4
       - y  + 14 y  + 3 y  + 1, y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y

             3      2       5      4
       - 21 y  - 2 y  + 1, y  - 2 y  - 3 y - 1, y - 1]
      (%i2) resolvante: produit$
      (%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);

      " resolvente produto "
             10      8       7    6        5       4       3     2
      (%o3) y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y  - 21 y  - 2 y  + 1

  Veja também :

  `resolvante`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Função: resolvante_unitaire (P, Q, x)

  +computes the resolvent of the polinómio `P(x)` by the +polynomial `Q(x)`.

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante_vierer`, `resolvante_diedrale`.

Função: resolvante_vierer (P, x)

  calcula a transformação de `P(x)` pela função `x_1 x_2 - x_3 x_4`.

  Veja também :

  `resolvante_produit_sym`, `resolvante_unitaire`, `resolvante_alternee1`, `resolvante_klein`, `resolvante_klein3`, `resolvante`, `resolvante_diedrale`.

Função: multinomial (r, part)

  onde r é o peso da partição part. Essa função retorna o coefinciente multinomial associado: se as partes de part forem i_1, i_2, ..., i_k, o resultado é `r!/(i_1! i_2! ... i_k!)`.

Função: permut (L)

  retorna a lista de permutações da lista L.

Função: tcontract (pol, lvar)

  testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis contidas na lista lvar. se for é rtornado uma forma contraída da forma retornada pela função `contract`.

  Outras funções de mudança de representação :

  `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol`, `tpartpol`.

Função: tpartpol (pol, lvar)

  testa se o polinómio pol é simétrico nas variáveis contidas na lista lvar. Se for simétrico `tpartpol` produz a forma particionada como a função `partpol`.

  Outras funções de mudança de representação :

  `contract`, `cont2part`, `explose`, `part2cont`, `partpol`, `tcontract`.

Função: treillis (n)

  retorna todas as partições de peso n.

      (%i1) treillis (4);
      (%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

  Veja também : `lgtreillis`, `ltreillis` e `treinat`.

Função: treinat (part)

  retorna a lista das partições inferiores à partição part pela ordem natural.

      (%i1) treinat ([5]);
      (%o1)                         [[5]]
      (%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
      (%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1],

                                                       [1, 1, 1, 1, 1]]
      (%i3) treinat ([3, 2]);
      (%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]

  Veja também : `lgtreillis`, `ltreillis` e `treillis`.

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